考慮波紋度的薄壁軸承-轉子系統非線性強迫振動分析

康 鋒， 張耀強， 楊茹萍， 牛青波

(1. 河南科技大學 土木工程學院，河南洛陽 471003； 2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南洛陽 471039)

考慮波紋度的薄壁軸承-轉子系統非線性強迫振動分析

康 鋒1， 張耀強1， 楊茹萍1， 牛青波2

(1. 河南科技大學 土木工程學院，河南洛陽 471003； 2.洛陽軸研科技股份有限公司，河南洛陽 471039)

在考慮內外圈波紋度、徑向間隙和變柔度等非線性因素的基礎上，建立薄壁軸承-轉子系統非線性動力學微分方程組，利用RK4數值積分法對方程求解。結合分叉圖、龐加萊映射圖和頻域圖等，分析了薄壁軸承-轉子系統的非線性強迫振動特性。結果表明：較大的不平衡力時系統的混沌振動范圍增大；不平衡力對系統水平方向振動的影響要遠大于豎直方向；隨著轉速的增加，強迫振動頻率在系統振動響應中逐漸占據主要地位。

薄壁軸承-轉子系統；振動分析；波紋度；強迫振動

薄壁滾動軸承不僅具有摩擦阻力小，損耗功率低，結構相對簡單，啟動容易等特點，而且有高剛性，低摩擦扭矩等特性，其也實現了極薄的軸承斷面，及產品的小型化和輕量化，作為旋轉機械中的重要基礎部件，在機器人手臂關節，航空發動機等結構中得到廣泛應用。在軸承加工制作過程中，由于技術工藝等原因，軸承滾道表面波紋度的產生是無法避免的，同時軸承在加工和長期的工作磨損下，也會造成其質量的偏心，從而引起強迫振動。在軸承-轉子系統中，由于非線性激勵源的存在，常引發諸多用線性理論難以解釋的動力學現象和一些不可預測的破壞后果[1]。近年來，越來越多的科學工作者開始用非線性動力學理論來分析這些現象。WANG等[2]考慮了軸承波紋度等非線性因素對滾子軸承-轉子系統的影響，其研究表明波紋度引起的振動頻率使系統產生強烈的振動。UPADHYAY等[3]研究了帶有波紋度和不平衡轉子的高速球軸承的非線性動力學特性，結果表明由于不平衡轉子和滾動體波紋度的作用，振動頻譜圖的最大振幅出現在波通過頻率和旋轉頻率及其組合頻率處。JANG等[4]提出一種在考慮滾動元件波紋度、離心力和陀螺力矩的影響下計算球軸承特性的分析方法，分析表明由于波紋度的影響，軸承振動頻率組成發生了變化。張耀強等[5]在考慮非線性因素和不平衡力的前提下建立動力學方程，對滾動軸承-轉子系統進行分析，結果表明增大不平衡力，強迫振動會增強并誘發混沌振動。KIM等[6-7]所做的研究分析僅考慮了強迫振動，沒有涉及軸承內外圈波紋度等相關參數。這些研究對軸承內外圈波紋度和強迫振動等因素沒有充分考慮，分析對象都沒有涉及到薄壁滾動軸承。本文以薄壁滾動軸承-轉子系統為研究對象，在考慮內外圈波紋度，彈性接觸力、變柔度等非線性因素和不平衡力的情況下，建立軸承-轉子系統非線性動力方程，采用RK4數值積分法求解，結合分叉圖，龐加萊映射圖和頻譜圖等對薄壁滾動軸承-轉子系統的非線性強迫振動進行了分析。

1 薄壁軸承-轉子系統的動力學模型

薄壁滾動軸承主要承受徑向載荷，而軸向載荷則相對較小，對薄壁滾動軸承的非線性動力學振動特性影響較小[8]。圖1所示為薄壁滾動軸承-轉子系統動力學模型，軸承內外圈分別與轉軸、機架剛性接觸，滾動體均勻分布在保持架當中作純滾動[9]，內外圈滾道表面具有正弦波的波紋度[10]，不計潤滑作用。圖2為薄壁軸承-轉子系統內部關系示意圖。

圖1 薄壁軸承-轉子系統動力學模型Fig.1 The dynamic model of the thin-walled bearing-rotor system

圖2 薄壁軸承-轉子系統內部關系示意圖Fig.2 Schematic diagram of the internal relationship in the thin-walled bearing-rotor system

1.1 軸承內外套圈的波紋度

在時刻t，與第i個滾動體接觸的軸承外圈滾道的表面波紋度幅值qouti為：

qouti=Aoutsin(Nwφi+βout)i=1,2,3,…,Nb

(1)

式中：qouti為外圈滾道表面波紋度幅值；Aout為外圈滾道表面波紋度最大幅值；Nw為波紋度波數；βout為外圈波紋度初始相位角；Nb是滾動體個數。

φi是第i個滾動體在t時刻的角位置：

(2)

(3)

式中：ωcage,ωin分別為保持架和軸承內圈角速度；Din,Dout分別為內外套圈滾道直徑。

將式(2)代入式(1)中，整理后可得：

(4)

同理也可得到在時刻t與第i個滾動體接觸的軸承內圈滾道表面波紋度幅值qini：

(5)

式中：Ain為內圈滾道表面波紋度最大幅值；βin為內圈波紋度初始相位角。

1.2 非線性軸承力

根據赫茲(Hertz)彈性接觸理論，圖2中第i個滾動體與內外圈滾道間的非線性軸承力Fi與彈性接觸變形量ui之間的關系：

(6)

式中：τ值取3/2；kb為系統總接觸剛度。

從圖2可得第i個滾動體與內外圈滾道間的接觸變形量ui：

ui=[(xcosφi+ysinφi)cosα-λ0+qini-qouti]+

i=1,2,…,Nb

(7)

式中：x,y分別為軸承內圈中心點在豎直和水平方向上的位移；α為滾動軸承的接觸角；λ0為軸承的徑向間隙；下標“+”表示如果括號內的值為負或0，取ui=0。

把式(7)代入到式(6)中，可得到第i個滾動體與內外圈滾道接觸的非線性軸承力：

(8)

在薄壁軸承-轉子系統中，非線性軸承力F是所有非線性軸承力Fi的總和。根據式(8)可得：

(9)

1.3 薄壁軸承-轉子系統的非線性振動微分方程

根據Lagrange方程，可得薄壁滾動軸承-轉子系統的非線性振動微分方程：

(10)

式中：m為轉子系統內圈、轉子軸和滾動體的總質量；c為軸承運轉時的等效阻尼系數；ω為轉子軸的旋轉角速度；W為施加在轉子上的恒定垂直力；FW為質量偏心引起的不平衡力。

滾動軸承在運轉過程中，其轉子依次通過荷載區，在荷載的作用線下，有轉子和無轉子這兩種情況的徑向柔度是不等的。轉子每次通過荷載區，都會產生一次振動，這種振動就是變柔度振動。與此同時，轉子軸質量的偏心也會引起系統發生強迫振動。而滾動體每次通過軸承內圈波紋度波峰時，系統也會出現一次振動，這種振動被稱為波通過振動[11]WPV(Wave Passage Vibration)。變柔度振動頻率fvc，強迫振動頻率ffv，波通過振動頻率fwpv分別可以表示為：

(11)

(12)

(13)

變柔度頻率fvc與強迫振動頻率ffv的關系：

fvc=ffv×BN

(14)

(15)

式中：BN是與薄壁軸承參數相關的系數，其值取決于軸承的尺寸。

2 非線性強迫振動分析

以某機器人薄壁軸承單元為例進行動態模擬分析。此薄壁滾動軸承-轉子系統的主要參數：m=6.0 kg；W=10 N；軸承等效阻尼系數根據文獻[12]中的公式計算得到c=220 N·s/m。滾動軸承的主要參數：Nb=42；滾動軸承內圈滾道直徑Din=213.808 mm；外圈滾道直徑Dout=236.284 mm；接觸角α=20°；徑向間隙λ0=10 μm。

由于軸承轉子系統動力學方程的強非線性特性，本文采用了RK4法進行求解，積分步長取一個激勵周期的1/300，計算結果以分叉圖、Poincaré映射圖、頻譜圖等形式呈現出來。

2.1 阻尼系數的強迫振動分析

在實際工程中，阻尼存在于任何振動系統中，其對系統動力學特性的影響不容忽視。取系統工作轉速nrotor=2 300 r/min，不平衡力FW=0.05 W，圖3為x方向位移隨阻尼系數變化的分叉圖及在不同阻尼系數下的Poincaré映射圖。

圖3 x方向位移隨阻尼系數變化的分叉圖和Poincaré映射圖Fig.3 Bifurcation diagram of x-displacement with damping and Poincaré diagram

從圖3(a)可以看出，阻尼系數較小時，系統振動響應為混沌狀態，如圖(b)所示阻尼系數c=39 N·s/m時，其Poincaré映射圖為一無規則的無窮點集；隨著阻尼系數的變化，當c=110 N·s/m時，系統振動的Poincaré映射圖變為半封閉曲線；當阻尼系數c=220 N·s/m時，其Poincaré映射圖為一封閉曲線，此時系統處于擬周期振動狀態。由此可得，系統在高阻尼下的振動響應比在低阻尼穩定。

2.2 僅考慮外圈波紋度的強迫振動分析

波紋度和不平衡力是影響滾動軸承-轉子系統非線性動力學特性的重要因素。取外圈波紋度最大幅值Aout=1 μm，不平衡力FW=0.05 W。

從圖4所示的x方向位移隨轉速變化的分叉圖中可以看出，系統存在2個混沌區，在轉速nrotor=630～810 r/min和1 430～2 010 r/min范圍系統處于混沌狀態。圖5所示為轉速nrotor=740 r/min時x方向的Poincaré映射圖，圖中映射點為一無序點集，故此時系統處于混沌振動狀態，工作時應避開此轉速段。隨著轉速的增加，系統發生倍周期分岔，在轉速nrotor=820 r/min時進入4周期振動狀態，在轉速nrotor=970 r/min時進入2周期振動，然后系統經第二混沌區、1周期和擬周期振動最終穩定在1周期振動狀態。圖6(a)為轉速nrotor=1 020 r/min時的Poincaré映射圖，由于圖中只有2個映射點，說明系統處于2周期振動狀態。圖6(b)為轉速nrotor=3 680 r/min的Poincaré映射圖，因為圖中映射點集為一封閉圓，所以此時系統處于擬周期振動。圖7(a)(b)所示為轉速nrotor=1 020 r/min的頻譜圖，由圖可知x方向主要是變柔度頻率fvc及其倍頻、分頻分量，y方向不僅含有強迫振動頻率，而且有強迫振動頻率ffv與變柔度頻率的組合頻率，其振動響應較x方向復雜。

圖4 x方向位移隨轉速變化的分叉圖Fig.4Bifurcationdiagramofx-displacementwithspeed圖5 轉速nrotor=740r/min時x方向的Poincaré映射圖Fig.5Poincarémapofx-directionat740r/min

圖6 轉速nrotor=1 020, 3 680 r/min時x方向Poincaré映射圖Fig.6 Poincaré map of x-direction at 1 020, 3 680 r/min

圖7 轉速nrotor=1 020 r/min的頻譜圖Fig.7 Spectrogram of at 1 020 r/min

在其他參數不變的情況下，取不平衡力FW= 0.25W。圖8為x方向位移隨轉速變化的分叉圖，由圖可知系統混沌區個數增加到3個，分別為轉速nrotor=520～860 r/min，nrotor=1 430～2 520 r/min和nrotor=3 150～3 390 r/min，混沌區的范圍也有所擴大。圖9所示為轉速nrotor=3 680的Poincaré映射圖，其映射點為一無序點集，可知系統處于混沌振動狀態。對比圖7(a)(b)和圖10(a)(b)可知，增大不平衡力，x方向出現了新的峰值頻率，即強迫振動頻率，y方向多出了變柔度頻率的分頻和倍頻分量，x方向最大振幅變化僅為0.94 μm，y方向由1.31 μm增加到4.49 μm，變化超過3 μm。分析可知，不平衡力引起的強迫振動使系統混沌區增大，其對水平y方向振動響應的影響要遠大于豎直x方向。

圖8 x方向位移隨轉速變化的分叉圖Fig.8Bifurcationdiagramofx-displacementwithspeed圖9 轉速nrotor=3680r/min的Poincaré映射圖Fig.9Poincarémapofat3680r/min

圖10 轉速nrotor=1 020 r/min頻譜圖Fig.10 Spectrogram of at 1 020 r/min

2.3 僅考慮內圈波紋度的強迫振動分析

取內圈波紋度最大幅值Ain=1 μm，不平衡力FW=0.05 W。

圖11、圖12、圖13分別為轉速nrotor=740, 2 050, 3 680 r/min的頻譜圖。從圖11(a)(b)中可得出，系統在轉速nrotor=740 r/min時x方向以波通過振動頻率fwpv為主，y方向主要是強迫振動頻率的倍頻分量，強迫振動與變柔度振動的組合頻率分量較小，從其頻率組成中可以得出水平y方向比豎直x方向振動復雜。當轉速nrotor=2 050 r/min時，從圖12(a)(b)中可看出x方向波通過頻率分量減少，同時有新的峰值頻率出現，即強迫振動頻率及其倍頻分量，y方向振動頻率組份變得簡單，僅含有強迫振動頻率和其倍頻分量。從圖13(a)(b)中可以看出，在轉速nrotor=3 680 r/min時x方向強迫振動頻率明顯增大，波通過頻率減小，y方向僅含有強迫振動頻率。由此可得，隨著轉速的遞增，強迫振動頻率在系統振動響應中逐漸增強。

圖11 轉速nrotor=740 r/min的頻譜圖Fig.11 Spectrogram of at 740 r/min

圖12 轉速nrotor=2 050 r/min的頻譜圖Fig.12 Spectrogram of at 2 050 r/min

圖13 轉速nrotor=3 680 r/min的頻域圖Fig.13 Spectrogram of at 3 680 r/min

圖14 轉速nrotor=3 680 r/min的頻譜圖Fig.14 Spectrogram of at 3 680 r/min

圖15 x,y方向最大幅值隨不平衡力遞增的趨勢圖Fig.15 The trend of the max amplitude of x,y-direction with unbalanced force increasing gradually

不平衡力FW為x方向幅值/μmy方向幅值/μm0.05W0.8593.5940.15W2.2065.0670.25W3.2495.8890.35W1.7004.0720.45W2.7294.8310.55W5.3006.1390.65W2.8295.1430.75W4.8065.7650.85W4.1306.7450.95W4.2426.705

在保持軸承其他參數不變的情況下，取不平衡力FW=0.25 W。在轉速nrotor=3 680 r/min時，對比圖14和圖13的頻譜圖可知，增大不平衡力，x方向振動頻率變為一連續的寬頻譜，并出現了新的振動頻率，其值對應強迫振動頻率的倍頻，y方向也出現新的峰值頻率，即波通過頻率分頻分量，x和y方向振動幅值分別從0.859 μm、3.594 μm增加到3.249 μm和5.889 μm，增幅為2.39 μm和2.295 μm。當不平衡力逐漸遞增時，其x,y方向最大振動幅值變化如表1所示，圖15為x,y方向最大振幅隨不平衡力遞增的變化趨勢圖，從圖中可以看出系統y方向最大振幅要大于x方向。綜上可得增大不平衡力，系統的振動響應頻率變得復雜，最大振幅呈波浪式遞增。

2.4 內外圈均含有波紋度時的強迫振動分析

取軸承內外圈波紋度最大幅值Ain=Aout=1 μm。圖16和圖17分別為不平衡力FW=0.05 W和FW=0.25 W情況下，轉速nrotor=3 680 r/min的頻譜圖。

圖16 不平衡力FW=0.05 W時轉速nrotor=3 680 r/min的頻譜圖Fig.16 Spectrogram of at 3 680 r/min while unbalanced force FW=0.05 W

圖17 不平衡力FW=0.25 W時轉速nrotor=3 680 r/min的頻譜圖Fig.17 Spectrogram of at 3 680 r/min while unbalanced force FW=0.25 W

從圖16(a),(b)可以看出，x方向的振動響應較y方向復雜，其響應中不僅含有強迫振動頻率，波通過振動頻率，而且有變柔度頻率。圖17(a),(b)顯示不平衡力較大時，系統振動會出現變柔度頻率與強迫振動的組合頻率，及波通過頻率與強迫振動的組合頻率。對比圖16和圖17可知，較大不平衡力使系統的振動頻率組成變得更加復雜，同時振幅也會增大，x方向的振動幅值由0.583 μm到2.165 μm，增幅為1.582 μm，y方向振幅從3.717 μm到3.921 μm，增幅為0.204 μm。由此可得不平衡力的增大會引起系統的振動頻率組成變得復雜，其對水平方向的振動影響要大于豎直方向。

3 結 論

本文在考慮軸承內外圈波紋度等非線性因素的基礎上，建立薄壁軸承-轉子系統非線性動力學方程，分析了薄壁軸承-轉子系統的非線性強迫振動特性，得出如下結論：

(1)較大的不平衡力時系統的混沌振動范圍增大。

(2)不平衡力對系統水平方向振動的影響要遠大于豎直方向。

(3)隨著轉速的增加，強迫振動頻率在系統振動響應中逐漸占據主要地位。

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Forced vibration of a thin walled bearing-rotor system considering waviness

KANG Feng1, ZHANG Yaoqiang1, YANG Ruping1, NIU Qingbo2

(1. School of Civil Engineering, Henan University of Science and Technology, Luoyang 471003, China; 2. Luoyang Bearing Science & Technology Co.,Ltd., Luoyang 471039, China)

The nonlinear dynamic differential equations of a thin walled bearing-rotor system were established considering nonlinear factors, such as, inner and outer race waviness, internal radial clearance and variable flexibility. Then, they were solved using the method of RK4 numerical integration. The nonlinear forced vibration characteristics of the system were analyzed with bifurcation diagram, Poincaré map and spectrogram. The analysis results showed that the range of the system’s chaos vibration becomes larger under a larger unbalanced force; the unbalanced force has a much bigger effect on the system’s vibration response in the horizontal direction than it does on the system’s vibration in the vertical direction; the forced vibration frequency gradually occupies the dominant position in the system’s vibration with increase in the rotating speed.

thin walled bearing-rotor system; vibration analysis; waviness; forced vibration

國家863項目(2015AA043004)；洛陽市科技攻關項目(1401018A)

2015-10-20 修改稿收到日期：2015-12-23

康鋒 男，碩士生，1990年生

張耀強 男，副教授，碩士生導師，1968年生 E-mail: aq570@haust.edu.cn

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A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.01.014