正確面對學生思維的岔道

盧 平

(江蘇省蘇州市吳江汾湖高級中學 215211)

一、問題的引出

筆者在數(shù)列教學中曾經(jīng)給出過這樣的例題：

例1 等差數(shù)列{an}中，若a8=0，則等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a15-n(n<15，n∈N*)成立.那么，在等比數(shù)列{bn}中，若b10=1，則會有什么樣的等式成立呢？

解 因為a8=0，因此ak+a16-k=2a8=0(k∈N*,k≤5).所以a1+a2+…+an=(a1+a2+…+a15-n)+(a16-n+a17-n+…+an-1+an).設(shè)S=a16-n+a17-n+…+an-1+an①,則S=an+an-1+…+a17-n+a16-n②.由①+②，得2S=(2n-15)(a16-n+an)=0，所以S=0，所以a1+a2+…+an=a1+a2+…+a15-n.類似地，在等比數(shù)列{bn}中，因為b10=1，從而有bkb20-k=1(k∈N*,k≤9).所以b1·b2·…·bn=(b1·b2·…·b19-n)·(b20-n·b21-n·…·bn-1·bn)=b1·b2·…·b19-n.

二、課堂教學中的“意料之外”

上述問題的設(shè)計、分析與解題步驟都一目了然，但在課堂教學的實施過程中卻產(chǎn)生了意料之外的問題.

1．意料之外的錯誤

教師呈現(xiàn)問題之后請甲乙兩同學上黑板解題得到以下答案：甲：b1b2…bn=b1b2…b19-n(n∈N*,n<19).乙：b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+17(n∈N*，n<19).

甲同學在隨后的答案解釋中基本能夠達到教師的要求，但乙同學卻給出了將等比數(shù)列{bn}看出了等差數(shù)列{bn}的回答.

此時，丙同學舉手說自己看錯題后得出的答案與乙又有不同，他得到了b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+2n-19(n∈N*，n<19).

這時丁同學舉手表態(tài)：乙做錯了，假如等差數(shù)列{bn}是常數(shù)列1，n=1時等式不成立.

2．將錯就錯的收獲

學生的一個意料之外的錯誤引來了眾多學生的共同討論，此時，教師如果將學生錯誤簡單歸結(jié)為審題不夠仔細而結(jié)束他們的討論，學生的探究興趣與思維也就會因此而終止.筆者面對這種情況提出了以下問題：

例2 等差數(shù)列{bn}中，若b10=1，會有什么樣的等式能夠成立呢？應(yīng)該怎樣思考？前面的答案都對嗎？為什么？

課堂上隨機生成的問題使得學生很快便進入了思考的狀態(tài).教師在學生進行一定的思考之后請乙同學解釋其思考問題的過程.

乙同學：根據(jù)已知條件可以看出，例1中的等式是等差數(shù)列某一項為0時得到的，假如問題中的數(shù)列也為等差數(shù)列，區(qū)別在于b10=1而不是b10=0，因此，假設(shè)有新的數(shù)列{cn}并使cn=bn-1，因此c10=0，后續(xù)解題過程可以采用例1中的方法.

同學們覺得乙同學與丙同學解題時采取的方法是一致且有道理的，不過兩位同學最終給出的答案卻并不一致，乙同學此時突然發(fā)現(xiàn)自己在計算時發(fā)生了錯誤導致答案沒有正確呈現(xiàn)，而丙同學做對了.

解題步驟如下：構(gòu)造數(shù)列{cn}并使cn=bn-1，則數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，由c10=0，所以c1+c2+…+cn=c1+c2+…+c19-n，由cn=bn-1得b1-1+b2-1+…+bn-1=b1-1+b2-1+…+b19-n-1，化簡，得b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+2n-19(n∈N*，n<19).

筆者在準確答案得出以后繼續(xù)追問學生是否還存在其他解法，學生在一定的思考之后給出了以下直接求解的方法：因為b10=1，從而有bk+b20-k=2b10=2(k∈N*，k≤9).

所以b1+b2+…+bn=(b1+b2+…+b19-n)+(b20-n+b21-n+…+bn-1+bn)，設(shè)S=b20-n+b21-n+…+bn-1+bn①，

則S=bn+bn-1+…+b21-n+b20-n②.

由①+②，得2S=(2n-19)(b20-n+bn)=(2n-19)×2，所以S=2n-19，所以b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b19-n+2n-19(n∈N*,n<19).

這是一種不拘泥于“ak=0”這一形式并能從本質(zhì)上進行解題的思路.

三、課后反思

筆者在自己所料不及的學生解題錯誤中將錯就錯卻收獲了意想不到的教學效果.

1．善待學生錯誤

共同存在于課堂教學活動中的預(yù)設(shè)和生成這對辯證對立統(tǒng)一體是課堂教學的兩翼.教師在課前應(yīng)將教學目標的確立、重難點的突破等環(huán)節(jié)進行精心的備課與預(yù)設(shè)，不過，課堂教學并不是僅僅圍繞“教”而展開的，與之相對的學生的“學”才是課堂教學中尤其重要的.學生在學習的過程中常常會出現(xiàn)教師預(yù)料之內(nèi)以及意料之外的錯誤，教師怎樣發(fā)現(xiàn)學生的錯誤以及怎樣對待這些錯誤是課堂生成中最為重要的環(huán)節(jié)，而且這一環(huán)節(jié)往往能夠體現(xiàn)教師是否能夠在教學中以人為本并尊重學生個性差異進行教學.

2．培養(yǎng)學生思維能力

如何在教學中滲透數(shù)學思維并因此提升學生解決問題的能力是每個數(shù)學教師高度關(guān)注的問題.從以上案例中我們不難看出，問題的解決需要邏輯推理、運算等各種基本的數(shù)學思維共同參與，類比、歸納、化歸等數(shù)學思想的運用表現(xiàn)得尤為突出，性質(zhì)與方法的類比、化歸思想等都在學生的解題中得到了運用，嚴格的邏輯推理使得數(shù)學命題得到準確的判斷，反例的列舉則可以用來否定命題的正確性，數(shù)學學習中逆向思維的價值也因此得以完全展現(xiàn).

3．認知主體始終是學生

從現(xiàn)代教育理論和后現(xiàn)代主義的角度來看待學習認知的主體，我們不難形成以下的觀點：(1)平等、信任的對話是教師和學生之間應(yīng)該努力營造與建立的，教學活動因此可以成為相互溝通與理解的雙方交流，教育的真實性、公平性才會因此受到保障；(2)采取絕對統(tǒng)一的形式開展教學在層次各異的學生群體中是不科學的，教師應(yīng)該在充分預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上進行生成性資源的靈活運用以幫助和促進學生學習興趣的有效激發(fā)，使得學生在寬松、和諧的教育氛圍中進行各種思維活動，在學生思維的岔道口進行科學的引導、拓展與利用，使學生思維的品質(zhì)以及教師教育教學的智慧在不斷的探索與收獲中獲得長足的發(fā)展.

[1]卓斌．例談數(shù)學教學中問題串的設(shè)計與使用[J]．數(shù)學通報，2013(6)．

[2]高翔，張波．高中數(shù)學教師對問題串評價與編制的調(diào)查研究[J]．數(shù)學教育學報，2016(3)．