高中數學解析幾何高考試題分析與教學策略研究

陳晨

摘 要：高中數學解析幾何是重要的教學內容之一，有著豐富的數形結合思想，同時在高考試題中又占有舉足輕重的地位，分值較大。通過分析近年來高考數學試題中的解析幾何試題，基于高考試題談解析幾何教學，從解析幾何高考試題引發思考，探究高中數學解析幾何教學策略。

關鍵詞：高中數學；解析幾何；高考數學；教學策略

一、高中數學中解析幾何內容及學習問題

在高中數學中解析幾何有著重要地位，是高考中重要的考查內容。在人教A版教材中，解析幾何內容編排在《直線與方程》《圓與方程》《圓錐曲線與方程》《坐標系與參數方程》等章節，有平面解析幾何、立體解析幾何兩大部分內容，通過平面直角坐標系，分析點與實數對、曲線與方程之間的對應關系，用幾何方法研究代數問題或用代數問題研究幾何問題。

在高考解析幾何試題中，學生的得分率普遍較低，很多學生學習解析幾何的水平尚未達到高考要求。高中數學解析幾何教學存在一些問題，主要表現為學生懂而不會、會而不對、對而不全、全而不快。其中，懂而不會，學生只是生搬硬套、表面理解解析幾何概念，產生自我假懂的現象；會而不對，解析幾何問題的解決，通常用到直角坐標系，包括大量的運算，可是學生的運算能力較薄弱，即使找對了解法，也難以做對解析幾何題目；對而不全，學生在解析幾何問題解決過程中，往往忽視動點軌跡方程；全而不快，學生在解析幾何過程中，往往照搬解題程序，對于思路寬的解析幾何問題則缺少創新意識，學生不敢動筆，或者直接放棄嘗試高效率的算法。筆者基于分析高考解析幾何試題，給出恰切的解析幾何教學策略，提高解析幾何教學效益，幫助學生克服解析幾何考試畏懼心理，取得理想的解析幾何得分成績。

二、高考解析幾何試題分析

筆者所在廣東省高考使用試卷為全國卷I卷，故此筆者對2013～2015年的全國卷1中的解析幾何考查部分進行梳理總結，剖析典型高考題，為解析幾何教學提出策略與建議。

1.高考解析幾何試題考查對比

從全國卷I中解析幾何考查知識點整體看，覆蓋范圍寬，視角高，層次性的考查學生對知識點的掌握程度，同時還滲透了對數學思想的考查，從2013年-2015年，全國卷I中對文科和理科不同學生的解析幾何知識點考查具體見下表所示。

2013～2015年全國卷I解析幾何試題題量看，是“兩小一大”，兩個小的客觀題，一個大的解答題，分值分別為5∶5∶12。近3年的全國卷I試題中，文科理科解析幾何試題共有11個選擇題和填空題，題目一樣的只有1個，文科和理科的試題考查差異性較大，對解析幾何知識點的考查交錯互補，對學生綜合知識運用和問題解決能力的要求較高；文科和理科解析幾何試題共有5個解答題，題目一樣的只有1個，題型相對常規，考查重點是解析幾何通性通法。

2013～2015年，全國卷I中對解析幾何的知識點（直線、圓和橢圓、雙曲線、拋物線）基本全部有所涉及。其中，選擇題和填空題常考內容為雙曲線漸近線方程、圓錐曲線的定義與方程、離心率、幾何性質、拋物線準線，客觀題區分度明顯，是能力立題的集中體現；解答題考查內容多是直線與橢圓、直線與圓、直線與拋物線位置關系，直線與圓位置關系分量較重，?？純热菔俏恢藐P系中相交弦構成圖形的取值范圍、最值問題。在解答題設計中，多以三角形面積計算為導引，轉化為弦長和距離的求解，在具體運算中用到韋達定理、弦長公式、焦半徑等公式，設而不求的代換思想，簡化解答題的運算，全國卷I對解析幾何的考查本質集中體現了代數問題研究幾何問題。

2.高考解析幾何試題具體評述

（1）數學知識：從記憶到聯想

從高考試題中解析幾何考查知識點看，對雙曲線、拋物線、橢圓的定義和性質進行基本考查，考點有：定義、性質、軌跡方程的求解，這就需要學生在解題時，結合自己對定義的深刻理解，聯想到定義、性質，在應用中“得心應手”。

（2015全國卷I文5）已知橢圓E的中心為坐標原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2=8x的焦點重合，A、B是C的準線與E的兩個交點，則AB=（ ）

A.3 B.6 C.9 D.12

【點評】圓錐曲線幾何性質的考查，解題基礎：明確概念、分清基本量關系，題目具有一定的綜合性。

（2）數學能力：運算能力與思維能力并重

高考解析幾何試題中，每年必考大的解答題，幾乎都可以用坐標法求解，這就需要學生在運算中熟悉幾何條件本質特征，能夠以恰當的代數形式，表示平行、垂直、面積、中點、距離等關系，學生需要弄清算理，明確算法，運算算法，得出結論。數學思維決定數學算理的正確性、數學運算的方向，而運算能力則決定了數學思維具體轉化施行的有效性。

（2013全國卷I理10）已知橢圓E：+=1（a>b>0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓E于A、B兩點。若AB的中點坐標為（1，-1），則E的方程為（ ）

A.+=1 B.+=1

C.+=1 D.+=1

【點評】利用直線與橢圓關系聯立方程，應用韋達定理計算a、b關系，再利用差點法設而不求思想，計算中點弦問題，運算簡單快捷。

（3）數學思想：融會貫通數學思想與方法

高考解析幾何試題以知識點為載體，但又蘊含著豐富的數學思想與方法，綜合考查了學生的數學能力和思想。解析幾何試題的基本特點是利用坐標系，求解幾何問題，究其核心是數形結合思想。而且，高考解析幾何解答題具有綜合性，對綜合數學知識的考查，在問題解決中涉及了轉化與化歸思想、分類與整合思想、函數與思想、特殊與一般思想。

（2014全國卷I理20）已知點A（0，-2），橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率為，F是橢圓的右焦點，直線AF的斜率為，O為坐標原點。

①求E的方程；

②設過點A的動直線L與E相交于P、Q兩點，當△OPQ面積最大時，求L的方程。

【點評】該題集中體現了函數思想，整體處理時用到韋達定理，簡化運算；在計算中引入關聯變量，構建函數關系，是解決該題的重要數學思想和方法。

三、高中數學解析幾何教學策略

1.理解是關鍵：數學實驗，動態探究

在高中數學解析幾何基礎知識夯實教學中，筆者建議可以適當應用信息技術，將信息技術與解析幾何整合教學，為學生創設數學實驗教學，體現幾何直觀，提高解析幾何教學效率。通過信息化的數學實驗，帶領學生溝通數式與圖形的表征，在動態化課件中，感受解析幾何的直觀性，通過演示幾何圖形運動變化過程，幫助學生觀察現象，發現幾何規律，探究幾何問題，得出解析幾何結論。通過信息技術制作的課件，以數學實驗的形式，為學生提供從感性到理性的解析幾何認識過程，對解析幾何進行動態探究，感受解析幾何的動態美，激發學生學習解析幾何的興趣，增強學生解析幾何想象力，培養學生數學觀察力，為更好地理解解析幾何基礎知識奠定基礎，加深學生對解析幾何知識的理解與掌握。

理解是關鍵，在信息技術數學實驗教學中，筆者建議：第一，注意交互。教師將信息技術與解析幾何教學整合，實現傳統解析幾何教學和信息技術教學整合，擴充學生學習時空，觀察解析幾何動態演變，或開展自主解析幾何學習，增強數學學習能力；第二，動靜結合。信息技術課件數學實驗演示下，解析幾何問題的表現形式多樣化，點、線、圖形變化，讓課堂撲朔迷離，有別樣的動態美，讓學生賞心悅目。在數學實驗教學中，動中有靜，形中有數，靜中有動，數中藏形，動靜相宜，數形相生，揭示了解析幾何本質規律，推動學生圖形和數式學習，培養學生直覺思維和邏輯思維；第三，適度適時。在解析幾何傳統教學難點、重點中，適時使用信息技術，創建數學實驗，聚焦學生認知沖突，把準學生認知生成，促進學生認知成長，為學生學習解析幾何指明方向。

2.算理是主線：強化運算，達成求簡

在高中解析幾何教學中，也要注重對學生運算能力的培養，關注學生數與式的運算能力，奠定解析幾何正確解答，三角函數、不等式、向量、立體幾何等綜合問題正確解答基礎，教師教會學生算理，合理設計算法，強化運算，運算結論，欣賞解析幾何運算美，鼓勵學生迎難而上，在耐心細致中“不怕繁”，最終發現簡，達成

求簡。

算理是主線，在高中解析幾何強化運算教學中，筆者建議：第一，要“精講多練”，賦予解析幾何運算練習新內涵。在解析幾何運算教學中，經典做法就是精講多練，教師精講，學生多練。教師通過對解析幾何典型例題的講解，特別是高考試題中解析幾何的重點知識點和試題，教師要詳細講解，鞏固解析幾何知識的同時，講述解析幾何解題思路、解答方法；第二，教師結合學生解析幾何解題現狀，發現學生解析幾何運算存在的問題，剖析成因，對癥下藥，引導學生明確解題目的，轉化、分析解析幾何圖形，構建坐標系，求解解析幾何，按照清晰的解題思路運算解答。通過“雙重”運算能力強化，培養學生解析幾何求解舉一反三的能力，闡釋精講多練新內涵。總之，在解析幾何運算中，算理是主線，學生作為解析幾何運算主體，亦是算理的主體，教師要引導學生把握運算方向，認清算與理的關系，做好運算準備，通過多練習強化運算能力，達成求簡。

3.數形結合是核心：分析解題，誘思導悟

數與形，相倚相依，數缺形則少直觀，形缺數則難入微，數形結合則代數與幾何統一，萬事休。高中解析幾何中考查數量關系研究幾何形狀，用幾何形狀轉化數量關系，涉及幾何運算的數與形雙重性。因此，高中解析幾何教學中，數形結合是核心，通過分析解題，誘思導悟，探索數形幾何。

數形結合是核心，在高中解析幾何數學思想教學中，筆者建議：第一，挖掘“形”，簡化“數”。學生在基本掌握通性通法基礎上，掌握相得益彰的解題方法，通過反思，擴大解題成果，突破思維定式，發散思維，一題多解。通過數學類比推廣，多題歸一，反思數學規律，得出數學結論，形成解題思維，創新思維；第二，對數形轉化實施專項訓練——變式訓練，解析幾何問題解決的關鍵點在于代數式與幾何的正確轉化，實施變式訓練，突出解析幾何問題結構特征，揭示解析幾何知識關聯，從多角度分析比較問題，得出解題策略。通過專項變式訓練，讓學生“熟能生巧”，在掌握解析幾何基礎知識基礎上，訓練數形結合思想，利用變式訓練，優化解析幾何認知結構，靈活解決解析幾何問題。變式訓練，讓學生發散思維，縱橫思索，變式探究，推廣引申，誘思導悟。

通過梳理人教A版教材中解析幾何內容，立足學生懂而不會、會而不對、對而不全、全而不快四大解析幾何學習問題，分析近3年高考全國卷I，歸納解析幾何“兩小一大”命題結構與規律，揭示高考試題中解析幾何數學知識：從記憶到聯想、運算能力與思維能力并重、融會貫通數學思想與方法考查三維內容，繼而提出高中數學解析幾何教學策略，理解是關鍵：數學實驗，動態探究；算理是主線：強化運算，達成求簡；數形結合是核心：分析解題，誘思導悟，優化解析幾何課堂教學，提升解析幾何教學效益，幫助學生夯實解析幾何基礎知識，提高解析幾何運算能力，創新解析幾何求解思維，促使學生養成數學素養，爭取在高考中取得不錯的成績。

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