《角的平分線的性質》教學反思與再設計
——追求“邏輯連貫、自然生成”的幾何命題教學

劉曉丹 陳少毅

（1.福建省福安市城北中學，福建福安 355000；2.福建省寧德市教師進修學院，福建寧德 352100）

下面我以人教版《角的平分線的性質》的教學為例，談談我對幾何命題教學的一些體會。

1 人教版《角的平分線的性質》教學安排與反思

1.1 人教版《角的平分線的性質》教學安排

（1）探究角平分儀的原理。

思考：如圖1是一個平分角的儀器，其中AB=AD,B C=B D,將A點放角的頂點，A B和A D沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE,則AE就是∠BAD的平分線，你能說明它的道理嗎？

（2）提煉尺規作角平分線的畫法。

（3）探究角平分線的性質。

如圖2，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P，過點P畫出OA，OB的垂線，分別記垂足為D，E。測量PD，PE并作比較，你得到什么結論？再在OC上取幾個點試試。

通過以上測量，你發現了角平分線的什么性質?

（4）證明定理，歸納提升。

將文字命題轉化為符號命題并證明，再總結文字命題證明的一般步驟。

1.2 基于教材安排的教學反思

圖1 平分角儀器

圖2 角∠AOB

作為人教版初中數學教材幾何命題完整證明的起始課，《角的平分線的性質》安排在八年級上冊《全等三角形》中，其教學目標是能用尺規作一個角的平分線，探索并證明角平分線的性質定理。為了完成教學目標，教材從測角儀入手，通過問題激發學生的探索新知的興趣，再創設情境組織開展探究性活動，讓學生在動手實踐和理性思辨中總結尺規作角平分線的方法與角平分線的性質，符合新課程下命題教學的基本要求。尤其是在定理探索環節，教材能充分讓學生經歷實踐→猜想→歸納→驗證→證明的過程，有利于引導學生將直觀體驗上升到理性思維，活動設計符合學生的認知規律，較好地完成了教學目標。但值得探討的是，本課中的兩項主要探究活動，都是在教師安排下的學生“驗證性活動”，其結論并非真正由學生在探究活動中產生。如角平分線作法的提煉只是所給“平分角的儀器”條件的直接轉化，沒有太多的思維含量；又如角平分線的性質的探究，教師直接引導學生關注角平分線上的點到兩邊的距離，這種過于明顯的提示，局限了學生思維方向，不利于創新意識的形成[1]。

圖3 ∠AOB

人教社章建躍先生提倡要讓學生經歷邏輯連貫的學習過程，我想角平分線作法與性質的提煉，也應是邏輯連貫的探究活動，自然生成的方法與性質總結。如何上好這節命題教學起始課呢？我認為應關注以下三個問題：

（1）對于初中幾何命題教學的定位，課標的要求是“探索并證明”。即讓學生獨立或與他人合作參與觀察、實驗、猜測、歸納、驗證等數學活動過程，發現并歸納幾何圖形的性質，或提出解決幾何問題的思路。在此基礎上，再利用已有的幾何知識加以證明，使感性認識得到理性的升華。如何通過角平分線定理的教學，形成一種幾何命題教與學的范式，為今后教學線段垂直平分線、特殊四邊形性質等做好教法上的引領，值得我們在設計教學的過程中加以研究。

（2）幾何探究活動中的問題，應在學生知識經驗的“最近發展區”設置，并適度控制思維的容量，以激發學生的探究欲望。對于角平分線作法的探究，學生已有“角平分線概念”、“三角形全等性質”等知識基礎，并積累了用尺規作角與線段的操作經驗，如果只是簡單地模仿“平分角的儀器”提煉作法，既沒有太大的探究價值，也無益于創新思維能力的培養。如何引導學生自我構建全等三角形，尋找作圖方案，但又不導致無從入手，望題生畏，應是教師在備課中考慮的重點。

（3）幾何探究活動應是基于學生原有認知上的自然生長，而不是建立在教師“先知先見”基礎上的著意安排。角平分線定理的探究，其難點不是定理本身的證明，也不在于從特殊到一般的驗證與歸納，而是對為什么選擇研究“平分線上的點到兩邊距離”的疑惑。教學中如何幫助學生認識垂線段的意義，對后續學生能自覺利用定理解決問題起著至關重要的作用。

2 《角的平分線的性質》教學的再設計

基于上述對教材的角平分線作圖與定理的教學的反思，我重新設計了《角的平分線的性質》教學過程。新的教學設計試圖達到以下目的：（1）形成一種尺規作圖教學模式，讓學生從原理出發探求作圖的方法與步驟；（2）整合兩個探究活動之間的關系，讓學生體會尺規做角平分線在角平分線定理探究中的鋪墊、啟發作用；（3）指導學生在操作中發現角平分線上的點到兩邊垂線段的作用與性質[2]。

在上述觀察視角下，新設計的教學過程分為復習引入、拋出問題，設計方案、總結畫法，引導發現、驗證定理，鞏固新知、拓展提升四個環節。

2.1 復習引入、拋出問題

提問：

（1）什么是角的平分線？若OC是∠AOB的平分線，請用符號表示各角之間的關系？

（2）怎樣得到一個角的平分線？如果只用直尺和圓規，你能畫出它的平分線嗎？

2.2 設計方案、總結畫法

（1）探究平分角的方案。

探究問題：已知：∠A OB，求作：∠A OB的平分線OC。

師生逐步分析設計平分∠A OB的方案。

①用直尺和圓規作圖，分別可作哪些圖形？直尺作直線、射線與線段，圓規截取線段的長②作∠AOB的平分線OC，實際就是要轉化成求什么問題？

將∠A O B化成兩個相等的角

③要得到兩個角相等，根據前面所學知識，應如何解決？

轉化成構造全等三角形，根據學生回答畫出草圖，如圖3。

④結合圓規的作圖功能，說說要得到△OPD≌△OPE，需要添加哪些條件?

作OD=OE，DP=PE

（2）提煉尺規作角平分線的畫法。

（3）根據上面分析，小組討論以下問題：

①如何把上面的條件OD=OE，DP=EP，用尺規依次畫出？

②最后如何得到∠A OB的平分線OC？

③說明射線OC是∠A O B平分線的理由。

（4）歸納總結，形成技能。

①用多媒體顯示角平分線的作法；

②請學生在各自的練習本上作出∠A O B的平分線OC。

③教師總結：解決尺規作圖問題，可以先根據作圖目標畫出草圖，利用所學的知識探求作圖原理，再根據尺規的功能確定所需條件與求法。

④總結已經學過的基本作圖：作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作一個角的平分線。

2.3 引導發現、驗證定理

（1）小組合作探究角平分線的性質（逐步推進）：

①由作圖我們發現：若OD=OE，DP=EP，則有OP平分∠AOB；反之，若P是∠AOB平分線OC上一點，則OD=OE，DP=EP成立嗎？若不成立，是否可改變條件與結論使新命題成立？

通過探究發現：

命題1“若P是∠A O B平分線O C上一點，且OD=OE，則PD=PE”成立；

命題2“若P是∠A O B平分線O C上一點，且PD=PE，則OD=OE”不一定成立；

②繼續探究：是否存在某一特定位置的點D、E，使命題1、命題2同時成立？

探究發現：當PD⊥OA，PE⊥OB時，點D，E唯一存在，此時上述命題1、命題2同時成立。

（2）總結性質，畫板驗證。

①上面探究中，點D的位置可以如何確定，你能簡潔地表述垂線段PD與PE嗎？

②師生共同歸納：角平分線上的點，到角的兩邊的距離相等。

③用幾何畫板驗證，發現在射線OC上任意拖動點P，都有PD與PE的長度相等。

（3）證明定理，感受理性（略）。

2.4 鞏固新知、拓展提升（略）

新教學設計把尺規作圖與定理探究作為一個整體進行設計，讓學生體會到定理產生是角平分線作圖探究的自然延續，而非教科書的刻意安排；而角平分線作圖探索，也定位在學生已有認知的基礎上的自我構建[3]，初步解決了案例1中的兩個問題。教學中，學生在教師引導下發現，作角平分線就必須構建全等三角形，進而由尺規功能得出并提煉作圖步驟，經歷了啟發性鋪墊（觀察、操作）,可理解性解釋（歸納、驗證），合理性證明（推理證明）的探究過程。雖然教學存在明顯的思維導引，但考慮到學生第一次涉及作圖方案設計，教師對探究方向給予適當的指導還是必要的。同時教師指導下的作圖分析與方法總結，也為今后學生自我解決尺規作圖問題提供了較好范例。作圖基礎上的逆向探究，是作圖方案合理性證明后的變式研究，它巧妙地把學生研究重心引向角平分線上的點到兩邊的距離，不僅讓學生感覺角平分線定理的產生是一種自然生成，是前面尺規作角平分線的邏輯延續，同時也有利于理解“點到兩邊的距離”的具體所指，有利于糾正常見錯誤“把到兩邊的距離誤認為是垂直于角平分線的垂線段”[4]。

3 幾何命題教學的幾點建議

（1）教學程序。一個完整的數學知識的習得與探究過程，一般包含了合情推理與演繹論證這兩個極為重要的思維過程。因此，完整的幾何命題教學，要讓學生經歷實驗操作，歸納驗證,推理證明，運用提升的探究性學習過程。讓學生在觀察與操作的感性活動中初步認識圖形的性質，在歸納與推理的理性思考中驗證猜想的合理性。

（2）問題設計。問題是探究活動的起點，也是思維活動的載體。教師要根據教學內容與目標，設計一系列逐步遞進的問題，把數學教學過程組織成提出問題、解決問題的過程，讓學生在問題解決的過程增長知識、積累經驗、發展能力。

（3）指導探究。幾何探究性活動的順利開展，離不開教師的導向與引領。教師要利用問題啟動學生思考的引擎，要留出時間與空間放飛思維的翅膀，要適時點撥引導探索的方向，讓學生探究性活動充分運用已有的知識、技能與方法去發現規律，總結結論。

（4）歸納提煉。要幫助學生歸納探究的過程與結論，提高學生自我反思與調控的能力。教學中，除了引導學生正確總結研究的成果外，教師還要有意識地抓住關鍵知識，對學生提出的奇思妙想加以提煉，歸納出其中重要的、常見的思維方式和數學思想方法，幫助學生在做中學，學中悟。

（5）思維培養。數學是思維的體操，思維能力培養是幾何命題教學目標的重要組成。教學中，不僅要引導學生借助幾何直觀、開展歸納與類比活動等發現數學結論，培養合情推理能力和創新意識，還要對探究結果進行說理證實和舉反例證偽，引導學生思考，培養演繹推理能力，提升思維品質。

[1]章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考[J].數學通報,2013,(06)：5-8.

[2]何小亞,姚靜.中學數學教學設計[M].北京：科學出版社,2008.

[3]馬復,陳怡,程燕云.初中數學教學策略[M].北京：北京師范大學出版社,2010.

[4]教育部基礎教育課程教材工作委員會組織編寫.義務教育數學課程標準解讀（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社,2012.