巧用章引言 做好領路人*
——“計數原理”章引言課實錄與反思

●周 霞 (效實中學 浙江寧波 315012)

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巧用章引言 做好領路人*
——“計數原理”章引言課實錄與反思

●周 霞 (效實中學 浙江寧波 315012)

章引言在平時的教學中是一個被“遺忘的角落”.文章以“計數原理”章引言課為例，從“為何引”“怎么引”“引什么”3個方面闡述如何充分挖掘章引言的內涵和價值，自然、恰當地在教學中進行應用，從而引發學生的學習興趣，引導學生學會思考，在開啟新篇章之際，更好地引領學生入門.

章引言；引言課；計數

1 背景

2016年5月，筆者參加了以“深化課程意識，落實核心素養”為主題的浙江省寧波市直屬高中教研活動，并進行了一次課例展示，上課內容為人教A版《數學(選修2-3)》第1章“計數原理”章引言，這也是筆者此前參加寧波市城區教壇新秀評比時選用的課例.現將這節課的教學過程以及筆者對章引言教學的點滴思考整理成文，與大家交流.

2 課堂實錄

2.1 情境創設，引發興趣

師：我這里有一個密碼本，右側共有8個按鍵，從上到下分別標有數字1～8.這個密碼本設有一個4位密碼(數字從小到大排列)，只有按照密碼將相應的數字鍵按下，本子才能打開.可是現在這個本子的密碼只知道前2位是34，后2位數字看不清了，大家能不能幫忙猜猜后2位數字是什么？

(學生興致很高，紛紛猜測.)

生(眾)：68,58,78,56,57,67.

師：還有嗎？你來猜一個？

生1：沒有了，已經列出了所有情況.

師：你怎么確保沒有遺漏呢？

生1：我是按規律找的，56,57,58,67,68,78.

師：按規律找就不會遺漏，密碼只有6種可能，那我們來試一試，看看密碼究竟是什么？

(當按下正確密碼3458時，密碼本被打開了，猜中的學生興奮不已.)

師：剛才問題中求所有可能的密碼個數可以抽象成一個怎樣的數學問題？

生2：由5,6,7,8這4個數可以組成多少個不重復的2位數.

設計意圖 通過小游戲“猜密碼”引入課題，簡單而有趣的情境吸引了每一位學生的注意力，激發了他們的學習興趣和參與熱情.

2.2 問題探究，引出主題

師：我去買密碼本的時候，發現同樣是8個按鍵的本子，有些設置的密碼是3位數的，有些是4位數的.從保密性能來考慮，我應該選擇哪一種更好呢？

生3：4位數的.

師：為什么呢？

生3：老師，你在網上設密碼的時候是選長一點的密碼還是選短一點的密碼呢？

師：應該是選長一點的密碼安全性更高吧.當時我的想法和你一樣，因此我就選了4位密碼.可是后來我回家一想，既然密碼長一點好，那廠家為什么不設置8位密碼呢？

生(眾)：8位密碼等于沒有設密碼.

師：看來密碼也不是越長越好，至少在這個問題上不是這樣.如果是7位密碼呢，能設置多少個？

生4：8個.

師：為什么是8個呢？

生4：按下7個數字鍵，相當于8個按鍵中選一個未按下的鍵，因此有8種情況.

師：也就是說設置7位密碼和設置1位密碼的種數是一樣多的，都是8種.那如果是2位密碼呢，有多少種情況？

生5：28種.

師：你是怎么算的？

生5：第1位數字是1的有7種：12,13,14,15,16,17,18，第1位數字是2的有6種，……，因此共有7+6+5+4+3+2+1=28種.

師：剛才這位同學對密碼的首位數字進行分類后用加法來計算種數，顯然要比一種一種列出來更加方便快捷.從計算結果來看設置2位密碼比1位密碼種數要多，那么3位密碼、4位密碼呢？有沒有規律可以快速地求出密碼種數呢？大家可以在課后思考一下，這是本章將要學習的內容之一.

師：除了這種密碼本，還有一種密碼鎖更為常見.如果它的密碼是一個3位數，每一位上的數字都可以是0～9，那么這樣的密碼鎖能夠設置多少種不同的密碼呢？

生6：1 000種.

師：怎么算？

生6：10×10×10.

師：我們不需要一個一個去數，可以用乘法很快計算出密碼種數.剛才2個問題中計算密碼種數的問題我們都稱之為計數問題，通俗地說就是計算個數問題.計數問題對我們來說并不陌生，因為我們學習數學就是從數數開始，先是一個一個地數，然后學習了加法和乘法運算，可以更加方便地計數.在計數原理這一章中將要研究不通過一個一個地數而確定個數的方法.

設計意圖 以問題串的形式圍繞密碼進行探究，讓學生回顧已有的計數方法：如列舉法、樹狀圖等，并且能夠使用加法或乘法來方便計數，但是在計算3位密碼、4位密碼時，學生強烈地意識到已有的經驗在解決更多的計數問題時具有一定的局限性，需要尋求更一般的規律.

2.3 實例感悟，引導思考

師(PPT展示)：計數問題在我們生活中有很多，例如：

1)汽車牌照.隨著生活水平的提高，家庭汽車擁有量逐年增加，原先5位數的牌照早已不能滿足需求，因此現在的牌照除了數字又加入了字母.由0～9這10個數字和A～Z這26個字母一共能組成多少個不同的牌照呢？這樣的編號規則能否滿足近年來汽車增長的需求呢？

2)彩票中的雙色球.雙色球每注投注號碼由6個紅球號碼和1個藍球號碼組成，6個紅球號碼從01～33中選，1個藍球號碼從01～16中選.根據這樣的選號方式，一共能產生多少種不同的號碼呢？

3)DNA分子結構.一說起DNA,我們都會想到親子鑒定，或是嫌疑人身份鑒定等等，為什么DNA可以看作是每個人身份的標簽呢？DNA分子是以4種脫氧核苷酸為單位連接而成的長鏈，這4種脫氧核苷酸分別含有A,T,C,G這4種堿基.DNA分子由于堿基對的數量不同，堿基對的排列順序千變萬化，因而構成了DNA分子的多樣性.成百上千個堿基組成的DNA分子的種數到底有多巨大，你知道如何計算嗎？

4)備受關注的法國歐洲杯在6月拉開帷幕，2016年的歐洲杯將是首次采用24支球隊參賽制，這24支球隊被分為6個小組，每個小組4支球隊，那么小組賽要打幾場？從小組賽到最后決賽，整個歐洲杯總共要打幾場比賽？

5)在2016年3月的圍棋人機大戰中，阿爾法狗以4∶1戰勝了韓國名將李世石，這件事之所以引起很大的轟動，是因為圍棋挑戰一直以來被稱作人工智能的“阿波羅”計劃.早在1997年,人工智能就已經攻克了象棋，圍棋卻始終攻克不了，因為圍棋的可能性太多了，一局150回合的圍棋可能出現的局面多達10170種.早在北宋時期，科學家沈括就在《夢溪筆談》里就記載了圍棋棋局總數的計算問題.

師：計數問題在生活中、在各個領域都廣泛存在，接下來大家能不能從身邊找些例子.

生7：一天的課表安排.

生8：高考選考科目7選3.

生9：食堂套餐的菜品搭配，高考志愿填報等.

設計意圖 通過實例分析，讓學生了解什么是計數問題，感受計數問題廣泛存在于生活中，并在相互交流討論中加強對計數問題的認識和理解.

2.4 課堂小結，指引方向

師：請大家結合剛才的生活實例回答下面3個問題.問題1：這一章我們要研究什么？

生10：計數問題.

師：問題2：為什么要研究計數問題？

生11：生活中廣泛存在.

師：問題3：我們應該怎樣研究，是一個一個地數嗎？

生12：不是，找規律.

師：對，我們要研究如何能不通過一個一個地數而確定個數，就是要探究計數的技巧.在計算密碼個數時，我們用到了什么技巧？

生12：加法和乘法.

師：將加法和乘法運算進行推廣就可得到分類加法計數原理和分步乘法計數原理，這是計數原理中最重要也是最基礎的2個原理.應用這2個原理，可以進一步推導計數問題中2類特殊問題的計數公式，即排列數公式和組合數公式，并在此基礎上得到具有廣泛應用的二項式定理，這就是我們即將要學習的內容.

設計意圖 3個問題的探討讓學生明確本章學習的內容、意義和方法，然后在此基礎上介紹本章內容框架，為學生提供一個清晰的學習路線圖.

3 教學反思

在平時的教學中，章引言總是容易被遺忘.沒有足夠的課時，內容相對簡單，空泛的介紹毫無意義……種種理由讓我們對此視而不見、棄之不用.筆者在反復研讀教材并實踐教學計數原理章引言后驚喜地發現這個“被遺忘的角落”有著豐富的內涵和教學價值，是有利于教師“教”和學生“學”的寶貴資源.下面結合課例從3個方面談談本人對章引言教學的思考.

3.1 為何引

章引言位于每個章節起始位置，言簡意賅地介紹了本章節所涉及的內容和思想方法，是章節內容的高度概括，起著提綱挈領的作用，它可以使學生初步了解該章節的學習目標、學習線索和學習方法.除此之外，章引言還結合學習內容圖文并茂地展示相關的知識背景、數學史與數學文化、現實生活中的應用等，豐富的材料開拓了學生的數學視野，激發了學生的學習興趣，讓學生對即將開始的學習內容充滿期待.

教材中計數原理的章引言首先列舉了大量生活實例，然后指出計數問題的研究方法，再介紹本章的知識體系.這些材料可以讓學生感受到計數問題源于生活，計數原理不是什么晦澀難懂的數學概念，而是由小學的加法和乘法運算推廣而來，計數原理的應用很廣泛.因此，通過章引言學生不僅看到了知識的“來龍”，而且知道了它的“去脈”，了解了知識的發生、發展過程，這將有助于學生克服畏難情緒，充滿自信地開始新的學習.

3.2 怎么引

如何對教材內容進行再加工，才能使章引言教學引得巧、引得妙、引得恰到好處呢？陶維林教授曾提出章引言教學的幾種處理方法，他指出應根據內容的不同采用不同的引入方法，并特別強調教學過程的“自然”和“恰當”[1].

要做到“自然”，我們需要結合具體內容，去追尋歷史的足跡，去思考知識發生發展的邏輯，去洞悉學生思維的“最近發展區”，這樣才能設計出切實可行、自然平順的章引言課.本節課密碼問題的設計就是在充分理解教材和理解學生的基礎上創設的情境，讓學生根據已有經驗先機械地數，然后不斷深化問題，讓學生意識到對于復雜問題只會機械地數是不夠的，必須從簡單的、已經解決的計數問題中抽象出能夠解決“一類”問題的方法.

要做到“恰當”，我們需要把握好度，適可而止，不要增加學生的負擔，讓學生產生畏懼心理.由于學生在初中階段學習過用列舉法或樹狀圖來解決一些簡單的計數問題，已經具備了一定的歸納、類比能力，因此引例中會使用“加法”和“乘法”來解決問題，但這只是不自覺的、感性的計數實踐[2]，此時教師沒有必要將其提升為自覺的、理性的計數原理，因為這是后續課程的內容，若生硬地將概念拋給學生，則效果必將適得其反.

3.3 引什么

3.3.1 引發興趣，引導思考

德國教育家第斯多惠指出：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞.”章引言課便是激發學生學習興趣、激活學生思維、鼓舞學生不斷追求新知、充分調動學生學習主動性的重要教學環節.本節課由小游戲“猜密碼”引入，圍繞密碼問題層層設問，讓學生由最簡單的計數問題開始，經歷從“一個一個地數”，到“按規律用加法、乘法來計算”，再到“需要尋求快速簡便的方法來解決此類問題”這樣的思維過程，使他們對新知產生了強烈的好奇心和求知欲，并充分感受了數學學科“追求最大限度的一般性模式，特別是一般性算法的傾向”的思維特點.

3.3.2 引出主題，指引方向

章引言課無論以怎樣的形式導入，最終的目的只有一個，那就是引出本章的主題，介紹即將學習的內容，而這個過程必然會涉及一些尚未學習的概念，此時沒有必要對這些新概念一一解釋，只需帶領學生粗略地展望新的學習內容，了解概貌即可.當然，除了教學內容之外，教師更應該盡力滲透學習方法、學習策略的指導，關注對學生思維、思想的引領，在開啟新篇章之際，引領學生入門.

本節課密碼種數的探究就是讓學生在解決簡單的計數問題中體會“加法”和“乘法”是將若干個“小的數”結成“較大的數”的最基本技巧，從而為后續學習中進一步由這種技巧推廣到分類加法計數原理和分步乘法計數原理奠定基礎.同時課堂中典型而豐富的生活實例，引導著學生們用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界.

常言道：“師傅領進門，修行在個人.”學習的關鍵在于學生的“悟”，但也離不開教師的“引”，特別是在學習新的篇章之際，教師的引領更為重要.教師要做好學生的“領路人”，充分挖掘章引言的內涵和價值，自然、恰當地在教學中進行應用，從而引發學生的學習興趣，引導學生學會思考，引領學生在數學的世界中探索遨游.

[1] 陶維林.研究章引言 上好起始課[J].中國數學教育,2010(3)：11-13.

[2] 羅增儒.“兩個基本計數原理”的教學分析——“2016年高中數學特色課堂案例分析研修會”發言稿(節選整理之二)[J].中學數學教學參考,2016(6)：25-29.

2017-03-08；

2017-04-10

周 霞(1981-)，女，浙江寧波人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O122.4

A

1003-6407(2017)06-30-04