等時弦模型及應用

質點在豎直平面內的任意大小的圓周上的各點沿弦方向的光滑斜面或細桿無初速地運動到圓周的最低點所需的時間都相等，這是物理中一種比較特殊的模型，可稱之為等時弦模型。以此為“母”版，還可以變形出“子”等時弦模型，甚至有立體的等時弦模型。下文淺探等時弦模型的種類及其在生產中的一個實際應用。

一、等時弦模型的類型

1.“公共最低點”型

【例1】 如圖1所示，試證明，質點從豎直平面內的圓環上的各個點沿弦的方向安裝的斜面滑到最低點D所用的時間都相等，都等于從最高點A自由下落到最低點D所用的時間，假設斜面與質點間無摩擦。

解析：設圓環的半徑為R，取一與水平方向成θ的弦所在的斜面，如圖2所示，質點在該斜面運動時的加速度a=gsinθ，根據幾何知識可知位移為x=2Rsinθ，由位移公式x=12at2 即可解得t=4Rg

圖2

，這個結果表明：時間t是一個與傾角無關的常數，說明質點從豎直平面內的圓環上的各個點沿弦方向安裝的斜面無摩擦地滑到最低點D所用的時間都相等。

若質點從最高點A自由下落到D點，根據自由落體運動位移公式有：2R=12gt2 得到下落時間為t=4Rg 。

結論：質點從豎直平面內的圓環上的各個點沿弦的方向安裝的斜面無初速且無摩擦地滑到最低點D所用的時間都相等，都等于從最高點A自由下落到最低點D所用的時間。

2.“公共最高點”型

【例2】 如圖3所示，有許多根交于A點的光滑硬細桿具有不同的傾角和方向，每根桿上均套有一個小環，他們的質量不相等，設在t=0時，各小環都由A點從靜止開始分別沿這些光滑細硬桿下滑，那么在t=t1(t1>0)時，這些小環所在處的各點連接起來是一個（ ）。

A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.不規則曲面

解析：考查其中任意一小環的運動，如圖4所示，令其所在桿與水平方向成θ角，則小環加速度a=gsinθ，經過時間t，小環位移x=12gsinθ?t2 。假設有一小環自由下落，對于時間t內的位移h=12gt2 ，可見h=x/sinθ。這說明兩小環在t時刻的位置與A點構成一直角三角形，也即此三點共圓！同一豎直面內的所有小環，在任一時刻的位置必構成公共最高點的圓，考慮其他方向，那么所有小環在同一時刻所在處的各點連接起來是一個球面。

結論：質點從球面的最高點沿所有方向的弦無初速、無摩擦地滑到該球面所用的時間都相等，都等于從球面最高點A自由下落到球面最低點D所用的時間。這是立體的等時弦模型。

3.“公共豎直直徑兩端點”型

【例3】 如圖5所示，ab、cd是豎直平面內兩根固定的細桿，a、b、c、d位于同一圓周上，圓周半徑為R，b點為圓周的最低點，c點為圓周的最高點。現有兩個小滑環A、B分別從a、c處由靜止釋放，滑環A經時間t1從a點到達b點，滑環B經時間t2從c點到達d點；另有一小球C從b點以初速度v0=2gR沿bc連線豎直上拋，到達最高點時間為t3，不計一切阻力與摩擦，且A、B、C都可視作質點，則t1、t2、t3的大小關系為（ ）。

A.t1=t2=t3

B.t1=t2＞t3

C.t2＞t1＞t3

D.A、B、C三個物體的質量未知，因此無法比較

解析：根據前文的公共最低點、最高點等時弦模型的特征可知，t1=t2=4Rg ；小球C豎直上拋至最高點的時間t3=v0g ，又因為v0=2gR，故t3=4Rg ，可見t1=t2=t3。同時還可求得小球上升的最大高度為h=v202g =2R，這說明小球C剛好上升至圓環的最高點c，相當于逆向的自由落體運動。

結論：小環從豎直平面內的大圓環上的各個點沿弦的方向的細桿無初速且無摩擦地滑到最低點b、從大圓環的最高點c沿弦的方向的細桿無初速且無摩擦地滑到圓環上所用的時間都相等，都等于從最高點c自由下落到最低點b所用的時間。

4.“8”字型

【例4】 如圖6所示，半徑分別為r和R的圓環豎直疊放（相切）于水平面上，一條公共斜弦過兩圓切點且分別于兩圓相交于a、b兩點。在此弦上鋪一條光滑軌道，則令一小球從b點運動到a點所用時間為多少？

解析：先考查小球從a到b的全過程，令ab與水平方向成θ角，則小球的加速度a=gsinθ，位移x=(2R+2r)sinθ，由x=12at2 ，可得小球運動的總時間為t=4(R+r)g ，這說明時間t與公共弦的傾角無關。

再考慮小球從最高點自由下落到最低點時，由自由落體運動位移公式有2R+2r=12gt2自 ，于是解得t自=4(R+r)g 。

結論：小球從兩豎直疊放（相切）于水平面上的“8”字型圓環的任意一公共弦的頂端無初速、無摩擦地滑至底端所需的時間都相等，與公共弦的傾角無關，且都等于小球從“8”字型圓環的最高點自由下落至最低點所需的時間。

二、等時弦模型的應用

【例5】 如圖7所示，傾角為α的傳送帶，以一定的速度將送料機送來的料——貨物，傳送到倉庫里。送料漏斗出口P距傳送帶的豎直高度為H。送料管PQ的內壁光滑且有一定的伸縮性（即在PQ管與豎直方向夾角θ取不同值時，通過伸縮其長度總能保持其出口Q很貼近傳送帶）。為使被送料能盡快地從漏斗出口P點通過送料直管運送到管的出口Q點，送料直管與豎直方向夾角應取何值，料從P到Q所用時間最短，最短時間是多少？

解析：這是等時弦模型在實際生產中的一個應用題。根據等時弦模型，在豎直方向PC上取一點O，以適當長度為半徑作一圓，使該圓過P點且與傳送帶相切，設切點為Q，

則OQ垂直傳送帶，即∠QOC=α，由公共最高點等時弦模型的性質，不難求得沿PQ方向送料所用時間最短，所以θ=α2 。

因為加速度a=gcosθ=gcosα2，位移x=Hcosα，由位移時間關系式x=12at2 ，即可求得最短時間t=2Hcosαgcosα2 。

［基金項目］本文為安徽省教育科學規劃課題項目，立項編號為JG11041。

(責任編輯 黃春香）