中學生的特點及數(shù)形結合思想教學的應用技巧

何霞

摘要：數(shù)形結合就是充分利用"形"的直觀性和"數(shù)"的準確性，充分理解題意，化抽象為直觀，培養(yǎng)學生思維的靈活性、廣闊性是初中數(shù)學中值得探索的方法。

關鍵詞：數(shù)形；結合；形成

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2016）11-0237-02

"數(shù)形結合"就是把抽象的"數(shù)"轉(zhuǎn)化為具體的"形"，通過解決具體的"形"而達到解決抽象的"數(shù)"，這種思想正符合初中生的心理特點，樂于被他們接受。因此，作為一項教學改革，需要我們教師在教學中加強這方面的訓練指導，也需要我們的中學生加強這方面的練習。中學階段，數(shù)形結合中的"形"是數(shù)軸、函數(shù)圖像、幾何圖形等組合表達式。"數(shù)"是指代數(shù)、三角形、平行四邊形等直觀標注。

1.數(shù)形結合數(shù)形能培養(yǎng)學生哪些方面的能力

數(shù)形結合就是充分利用"形"的直觀性和"數(shù)"的準確性，培養(yǎng)學生思維的靈活性、廣闊性是初中數(shù)學中值得探索的方法，那么學好數(shù)形結合究竟能提高學生哪些方面的能力呢？

1.1數(shù)形結合，培養(yǎng)解題思維的獨創(chuàng)性。思維的獨立創(chuàng)造性是指敢于超越傳統(tǒng)習慣的束縛，擺脫原有知識范圍和思維定勢的禁錮，善于把頭腦中已有的知識信息重新組織，產(chǎn)生具有進步意義的新設想和新發(fā)現(xiàn)。利用形的直觀性，探尋到具有創(chuàng)新意識的簡捷妙法，可避開繁瑣運算，簡捷解題，提高解題速度，達到培養(yǎng)思維的獨創(chuàng)性之目的。

1.2數(shù)形結合，培養(yǎng)解題思維的準確性。問題均可根據(jù)其題設與結論的特征通過觀察、聯(lián)想構造出相應的幾何模型，然后根據(jù)圖形的性質(zhì)得到一種簡捷的解法。在解題過程中，準確是解題的關鍵。數(shù)形結合，可用利用"形"的直觀性提高"數(shù)"的準確性。

1.3數(shù)形結合，培養(yǎng)解題思維的廣闊性。思維的廣闊性是指思維活動中避開單一狹隘的思維模式，對所學知識融會貫通，多角度、全方位思考問題、解決問題的程度。思維越廣解決處理的方法越多。利用數(shù)形結合，用大樹知識解決幾何問題，或用幾何知識解決代數(shù)問題，避免以代數(shù)解代數(shù)，幾何解幾何的單一模式。數(shù)形結合解題就是根據(jù)數(shù)量的特征與圖形結構，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，開辟解題新途徑。

1.4數(shù)形結合，培養(yǎng)解題思維的靈活性。思維的靈活性是指思維活動具有較高的靈活程度，能善于沿著不同角度，順著不同方向，選擇不同方法，對同一問題從多方位、多側(cè)面的認識。數(shù)形結合思想引導學生多方位思考，審時度勢，適時突破常規(guī)的思維定勢，有利于培養(yǎng)解題思維的靈活性。

2.中學生怎樣去形成用數(shù)形結合思想解題的能力

在中學階段數(shù)形結合思想具體體現(xiàn)在用代數(shù)方法解決幾何問題或幾何方法解決代數(shù)問題。代數(shù)方法精確深刻，幾何方法形象直觀，兩者的結合開辟了新的解題思路，能促進學生數(shù)學思維的發(fā)展。現(xiàn)在中學學生在代數(shù)中已經(jīng)學過代數(shù)式、方程、函數(shù)，在幾何中已經(jīng)學過點、線、三角形、四邊形、圓的知識，這兩種學科間聯(lián)系密切，是互相統(tǒng)一的。因此，我們必須重視數(shù)形結合的教學。

2.1加強學生對數(shù)形結合概念的理解。代數(shù)和幾何兩種學科間的聯(lián)系、兩種知識面的統(tǒng)一是隨著數(shù)軸、平面直角坐標系與函數(shù)的深入學習，才逐漸溝通與深化的。所以在這一段的教學中為使學生形成數(shù)形結合的統(tǒng)一意識，教師就要講清數(shù)軸、平面直角坐標系、函數(shù)圖像等的性質(zhì)，應在知識領域理凸顯數(shù)形結合的思想方法。

2.2坐標系的建立為數(shù)形結合開拓了思路。數(shù)形結合的載體是數(shù)軸，數(shù)軸能反映出數(shù)與點的對應關系，這是學生學習數(shù)學的一大飛躍。運用數(shù)形結合的思想方法思考問題，能給抽象的數(shù)量關系以形象的幾何凸顯，也能把幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系問題去解決。通過數(shù)形結合的數(shù)學思想方法來學習相反數(shù)、絕對值的定義、有理數(shù)大小比較的法則、函數(shù)等，可以大大降低學生這些知識的難度。數(shù)形結合思想的教學應貫穿于整個數(shù)學教學的是始終。

2.3注意培養(yǎng)學生用數(shù)形結合的數(shù)學方法分析問題、解決問題的能力。不論用代數(shù)方法研究幾何問題，還是用幾何圖形研究代數(shù)式，都貫穿著數(shù)形結合方法分析問題和解決問題的思想。因此教師應加強對學生的數(shù)形結合意識的滲透和能力的培養(yǎng)。我們可通過數(shù)量關系的討論來研究幾何圖形的性質(zhì)，比如解析幾何這門學科就是建立在這種思想方法的基礎上，另一方面是利用幾何圖形的直觀性，揭示數(shù)量關系的許多特征，深刻理解這一觀點，有利于提高學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。如列一元一次方程解應用題的關鍵在于分析題中的數(shù)量關系，可以通過畫直線形（或圓形）示意圖直觀地顯示出來。一旦學生掌握了這種數(shù)形結合的分析方法，對較為復雜的習題就能獨立分析和解決了。

2.4善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系。觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關系，并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系，是認識、掌握數(shù)形結合的重要進程。

2.4.1正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數(shù)量關系.觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫出示意圖是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關系。

2.4.2切實把握"數(shù)"與"形"的對應關系，以圖識性以性識圖。數(shù)形結合的核心是"數(shù)"與"形"的對應關系，熟知這些對應關系，深化兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關系上的性質(zhì)與相應圖形的特征之間的關聯(lián)，以求相輔相成，相互轉(zhuǎn)化。

2.4.3靈活運用"數(shù)"與"形"的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性。在中學數(shù)學中，數(shù)形結合的思想和方法體現(xiàn)得最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖像之間，復數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想和方法。通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對于關系是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強化這種轉(zhuǎn)化訓練的則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段。

總之，在教學中教師應充分利用圖形、圖像，使學生正確理解和掌握所學的概念和知識，通過運用數(shù)形結合的思想方法實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀，深入淺出，巧妙的技巧應用，讓學生逐步理解數(shù)與形間的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的辯證。

3.實施數(shù)形結合思想教學時主要可分四個階段進行

第一階段是滲透孕育起期。由于學生剛升入中學，他們對數(shù)形結合的認識主要還停留在用線段圖解應用題這種簡單淺顯的層次，因此這一時期的要求不能太高，因以"數(shù)軸"、"相反數(shù)"、"絕對值"、"有理數(shù)是計算"等內(nèi)容為載體，以數(shù)軸為結合點。在數(shù)學中提出數(shù)與形的問題，使學生感受到"數(shù)"與"形"間存在著相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證關系。并且通過問題的解決，察覺到數(shù)軸的作用。

第二階段是體會領悟期。代數(shù)以"不等式"的知識為載體繼續(xù)向?qū)W生介紹數(shù)形結合思想，使學生明白如果不借助"數(shù)軸"這個工具，就不容易找出不等式組的解集。由此而領悟到，數(shù)形結合對解決數(shù)學問題不是可有可無的，而是一種非常重要的辦法。

例1如圖1，已知∠AOB=90°，∠AOC為銳角，ON平分∠AOC， 平分∠COB，求∠MON的度數(shù)。

第三階段是形成嘗試期。以平面幾何知識為載體。由于知識深化"數(shù)"與"形"之間的因果關系不那么明顯，因此學生在解決問題時很難將"數(shù)"與"形"有效的結合進行思考。

①理解遷移。深刻理解數(shù)學知識中蘊含的數(shù)形結合思想，找出概念、定理、性質(zhì)中"數(shù)"與"形"的特征。如勾股定理，代數(shù)的特征是一個數(shù)的平方等于兩個數(shù)的平方和.幾何的特征是這三個數(shù)是某直角三角形的三邊。解決相關問題時可以引導學生與已有的知識經(jīng)驗"直角三角形——求線段長——解方程"產(chǎn)生關聯(lián)，找出解題途徑。

例2.如圖，P是長方形ABCD內(nèi)一點，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD

分析：求線段的長度需要有直角三角形，但圖中沒有現(xiàn)成的直角三角形，故需添輔助線。

解： 如圖，過P作AD、AB的平行線，原矩形被分成四個小矩形；

由勾股定理得：

PA2 =a2+b2，PC2 =c2+d2；

PB2 =b2 +c2，PD2 =a2+d2；

因此：PA2+PC2=PB2+PD2，

即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18。

②提煉方法。作為第二層次的教學，應該引導學生從解決問題的技巧中提煉出蘊含數(shù)、形結合思想且又易于操作的辦法。進而理解這些辦法的實質(zhì)。比如在一些問題的解決中，都用到從面積的角度去思考探索證明途徑。這一技巧其實質(zhì)就是利用公式（方程的思想）為問題的解決鋪平道路。

例3.如圖3在等腰ΔABC中，AB=AC=5，BC=6，P是底邊上任一點，求P到兩腰的距離的和。

解過P作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，過B作BF⊥AC于F，連接AP，SΔABC=SΔAPB+SΔAPC，即

第四階段是應用發(fā)展期。這個階段主要以方程、函數(shù)和知識為載體，以解決問題為主要教學方式，突出數(shù)形結合思想在解題中的指導作用（見例12）。指導學生正確、迅速地找出問題中數(shù)形轉(zhuǎn)化的等價關系，展現(xiàn)由"數(shù)"思"形"，由"形"定"數(shù)"的思維過程。

例4（由"數(shù)"思"形"）解方程x-y=1____________（1）x+1+y-2=5_____（2）

分析方程（2）可變形為：（x+1）2-（y-2）2=（15）2______（3），顯然x+1>0，y-2>0。由于（3）與勾股定理形式類似，因此可構造（圖3）RtΔABC，使∠C=90°，并延長CA至D使AD=AB，CA=x+1，就把題中的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為圖中的幾何關系

由于"數(shù)形結合"具有形象直觀、易于接受的優(yōu)點，它對于溝通知識間的聯(lián)系，活躍課堂氣氛，開闊學生的思路，發(fā)展學生的智能，提高學生的數(shù)學水平有著獨到的作用。這種教學方法能夠培養(yǎng)學生的創(chuàng)造思維能力和開拓精神，使學生充分張揚個性，充分發(fā)揮潛能，真正實現(xiàn)個體的最優(yōu)化發(fā)展。

參考文獻：

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