從實(shí)例看排列組合基本原理在概率問題中的推廣應(yīng)用

賈慧彤

摘要：概率的計(jì)算常歸結(jié)為排列組合問題，互斥事件發(fā)生的概率和相對(duì)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率是我們學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，通過與排列組合基本原理進(jìn)行類比，可以使概率問題通過具體的“樹圖”將問題變得直觀形象，對(duì)這兩個(gè)問題我已有了有更深刻的理解。

關(guān)鍵詞：概率；排列組合基本原理；推廣；應(yīng)用

互斥事件發(fā)生的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率是“排列、組合和概率”這一章中的兩個(gè)重要概念，教材用兩個(gè)簡單的實(shí)例給出了相應(yīng)的計(jì)算公式：若A、B為互斥事件，則 P（A+B）=P（A）+P（B），若A、B為相互獨(dú)立事件，則P（A·B）=P（A）·P（B）。這種處理方法將抽象的問題具體化，使問題的解決簡單明了，比較符合我們的認(rèn)知水平。如果能結(jié)合排列組合的基本原理來解釋這兩個(gè)概念，那么我們對(duì)這兩個(gè)概念及相應(yīng)的計(jì)算公式會(huì)有更深刻的理解。

一、排列組合基本原理在概率問題中的推廣

1.概率的加法原理。完成一個(gè)試驗(yàn)，含有2個(gè)“類事件”，這兩個(gè)類事件中所含的基本事件中沒有一個(gè)基本事件是相同的，第1類事件A發(fā)生的概率為P（A），若第2類事件發(fā)生的概率為P（B），則 P（A+B）=P（A）+P（B）。由此可以推廣至n類事件，即互斥事件發(fā)生的概率的實(shí)質(zhì)是分類。

2.概率的乘法原理。完成一個(gè)試驗(yàn)，需要2個(gè)“步事件”，且一個(gè)步事件的發(fā)生與否不會(huì)影響另一個(gè)步事件發(fā)生的概率，若第 1 步事件A發(fā)生的概率為P（A），第2步事件發(fā)生的概率為P（B），則P（A·B）=P（A）·P（B）。由此可以推廣至n步事件，即相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的實(shí)質(zhì)是分步。

二、實(shí)際應(yīng)用舉例

將互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率問題轉(zhuǎn)化為分類和分步問題，可以使概率問題借助排列、組合中較常用的“樹圖”得到直觀的解決。

例題 1：如果獵人射擊距離為100米處的動(dòng)物，假如第一次未命中，則進(jìn)行第二次射擊，但由于槍聲驚動(dòng)動(dòng)物，動(dòng)物逃跑，從而使第二次射擊時(shí)動(dòng)物離獵人的距離變?yōu)?50米，假如第二次仍未命中，則進(jìn)行第三次射擊，而第三次射擊時(shí)動(dòng)物離獵人的距離為200米。假如擊中的概率與距離成反比。求獵人最多射擊三次命中動(dòng)物的概率。

分析：根據(jù)分類和分步原則，畫出“樹圖”

例題2：開關(guān)閉合后，便有紅燈和綠燈閃動(dòng)，設(shè)第一次出現(xiàn)紅燈的概率是1/2，出現(xiàn)綠燈的概率也是1/2，從第二次起，前次出現(xiàn)紅燈后接著出現(xiàn)紅燈的概率是1/3，接著出現(xiàn)綠燈的概率是 2/3；同樣，前次出現(xiàn)紅燈后接著出現(xiàn)紅燈的概率是 3/5，出現(xiàn)綠燈的概率是 2/5。問：（1）第二次出現(xiàn)紅燈的概率是多少？（2）三次發(fā)光，紅燈出現(xiàn)一次，綠燈出現(xiàn)兩次的概率是多少？（3）紅、綠燈交替發(fā)光的概率是多少？

分析：畫出樹圖

例題3：甲、乙兩位同學(xué)做摸球游戲，游戲規(guī)則規(guī)定：兩人輪流從一個(gè)放有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，1個(gè)白球且有顏色不同的6個(gè)小球的暗箱中取球，每次每人只取一球，每取出一個(gè)后立即放回，另一人接著取，取出后也立即放回，誰先取到紅球，誰為勝者，現(xiàn)甲先取。

（1）求甲摸球次數(shù)不超過三次就獲勝的概率；

（2）求甲獲勝的概率；

分析：畫出樹圖

小結(jié)：互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率問題是我們學(xué)習(xí)中遇到的一個(gè)難點(diǎn)，通過與排列組合基本原理進(jìn)行類比，可以使概率問題通過具體的“樹圖”將問題變得直觀形象。“樹圖”最大優(yōu)點(diǎn)是能夠?qū)⒛承╇S機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果無重復(fù)又無遺漏地表示出來，從而讓我們更好地把握和理解有關(guān)問題，提高抽象思維的能力。