數學中的“溫故”與“知新”

潘城閱

正所謂“溫故而知新”，古人所推崇的學習方法為今天的高中數學學習提供了很好的借鑒.所謂“溫故”，在數學中，個人認為不僅是溫習舊知識，更是溫習學習方法、解題思路、思維方式，總體來講就是進行一次解題反思，這個過程符合數學知識在大腦中思維演變的發展規律，契合學生對數學邏輯的認知和理解過程，有效地應對高中數學知識點變式復雜的考查模式.而在當下的高中數學教學中，對解題反思的研究和實踐缺少科學的認識和應用，多數老師更依賴傳統的題海模式，這無疑對教學效率、學習收效都產生了不利的影響.所以我們提倡在教學實踐中，積極地開展解題反思教學，培養師生的反思意識，提高“教與學”的效率.

一、反思題目內容，發掘問題本質

數學的學科特點是知識點多，但有規律可循；題目的變式復雜，但考查的本質固定.所以當我們對于看似陌生的題目，尋找到對應的解題方法解決題目后，應該對題目的出題目的、思路、問題的設計進行有針對性的反思.對題目的反思是解題反思的重要環節，這個過程有助于我們發覺題目的考查本質，有針對性地選擇解題方法，避免落入題目設計的陷阱.

以一道高考模擬題為例：為得到函數y=cos2x+π3的圖像，只需將函數y=sin2x的圖像怎么移動即可？A：向左平移5π12個長度單位；B：向右平移5π12個長度單位；C：向左平移5π6個長度單位；D：向右平移5π6個長度單位.對題目進行反思主要反思兩個方面：一是題干內容，確定題目主要考查的范圍是三角函數的內容，提問的方式可以反映出解題步驟中存在三角函數的轉化；二是答案設置，答案中存在“左右”的變化，反思可以幫助我們注意計算中符號的關系，而兩個不同的分數關系提醒我們注意系數的關系.

通過對題目的反思，我們的目的不僅僅是掌握一個類型題目的表述方式，更可以提煉出這個類型題目需要注意的地方，也是出題者習慣設置“陷阱”的位置.對題目的有效反思主要是通過對題干的解讀，剖析題干所包含的本質屬性，同時結合變式的運用，可以舉一反三設計更多的題目進行分析練習.

二、反思解題思路，歸納解題技巧

眾所周知，數學應用中有很多廣泛使用的解題技巧，可以針對一類甚至幾類題型發揮積極的作用.同時解題技巧又是一種數學思維在大腦中的升華和創造，是數學學習的精髓.但是同學往往不能自己總結和歸納出有效的解題技巧，而盲目大量的練習設計又會使得學生對學習產生倦怠感.而利用解題反思的策略可以很好地幫助學生歸納解題技巧，提高學習效率.

同樣以上題為例，解題過程為：y=cos2x+π3與函數y=sin2x可以通過三角函數關系來建立變形轉化關系，即：y=cos2x+π3=sin2x+π3+π2，進行整理得：y=sin2x+5π6，化簡為y=sin2x+5π12.這類題型一直是歷年高考的“常客”，題目看似不難，但出錯概率不小.我們對這類題型進行反思發現：其實題目考查的是正余弦的變換知識點，解題的“題眼”是cosα=sinα+π2關系的建立.并且通過本題的反思，我們應同時聯想α為任意角時，α與-α，α與π±α和π2±α的三角函數關系，以及準確掌握這些相關公式的特點的策略.相反我們還可以收集涉及正切、余切的同類題目進行類似的反思過程，歸納規律性的解題思路.

可見解題過程的反思過程，可以針對一道題來聯想相關解題方法，也可以針對一類題，來歸納解題的通用技巧.反思的過程可以是一個發散思維的過程，也可以是一個思維內化的過程.我們需要利用反思來幫助學生在有限的時間內、在代表性的題目中掌握適用性強的解題方法和策略.

三、反思錯誤原因，培養數學思維

就如例題所述的題型，這類題目我們常講，但同學卻常錯.不是學生不用心，也不是老師不投入，究其原因可能是應對的方法不科學.對于做錯的題目，我們鼓勵師生一同進行錯題反思，目的有兩個：一是幫助學生了解錯誤原因，為下次類似題目的出現做好防范；二是幫助老師透視學生容易犯錯的環節，從而設計有針對性的教學內容.

仍然以上題為例，答案中給出的四個選項都有被選擇的情況.反思錯誤發生原因：一是相對移動的方向發生了錯誤，這是由于對y=sin2x+5π12中“+”號對移動方向的影響不明確；二是移動的長度產生了錯誤，這可能由于同學對y=sin2x和y=sin2x+5π6的函數部分的計算掌握不準確，造成了變形后可能計算為y=sin2x+5π6的錯誤情況.通過反思，老師針對錯誤的原因側重設計教學策略：歸納y=sin（x±α），明確移動時遵循“+”向左、“-”向右的記憶模塊；另外強調做題中注意在函數運算時系數變化.

錯題的反思可以直接幫助老師設計針對性的課題內容，幫助同學了解自身所欠缺的解題邏輯，鍛煉解題所需要的邏輯思維.更重要的是，反思的過程是一個自主的邏輯內化的過程，也是一個主動學習習慣養成的過程.通過有針對性的反思過程，從主觀到客觀，從“教與學”的兩面，為培養學生的數學思維做積極的努力.

四、反思評閱過程，強化解題定式

解題定式有別于解題技巧或解題方法，后者是解題中具體的實施策略，其可能包含解題的思路、公式的運用、計算的過程；而前者則是一種解題的規范步驟，對于某一類題型的解題的具體流程規范，它廣泛地適用于同一類型的題目.雖然解題定式不是一種解題的方法，但是解題的定式可以有效地幫助同學在解題困惑時有章可循，迅速地進入解題的角色.

如以上題為例，雖然這是一道選擇題，但是它的變形可以是填空題或是解答題的一個步驟.選擇題和填空題老師鼓勵學生進行簡便計算是沒有問題的，但是如為一個解答題的一個環節，那就需要掌握解題定式.對這類題型的評閱過程進行反思可以發現，解題步驟中的關鍵因素是cosα=sinα+π2這個誘導公式的選擇，所以在定式中我們要將這個關鍵因素體現：表述為，欲求cosα與sinα圖像的變化關系，則根據cosα=sinα+π2的誘導公式得：y=cos2x+π3=sin2x+π3+π2（化簡步驟省略）.這個解題定式在解答題中顯得格外重要，不僅可以得到相應的解題步驟分，而且為余下題目的計算奠定解題基礎.

解題定式其實可以形象地比喻為為解題的過程打開一扇窗戶，而往往學生很少能意識到它在解題中起到的作用，只有通過反思教師的評閱內容，才能意識到這個步驟的重要性.當然在評閱的反思中，還應該積極地總結解題定式中的其他環節，只有對定式充分地認識，才能把握好步驟的得分點，即使解題思路不明確，按著解題定式來開展運算，逐步地發掘題目的本質，也能從容地應對困難的題目.

五、反思教學過程，明確教師角色

以上都是老師引導學生進行反思的過程，當然在整個教學過程中，老師也應進行積極的反思.老師進行反思的內容有很多，可以反思課堂中老師所扮演的角色，可以反思所應用的教學方法和策略，還可以反思師生間互動和交流的過程，等等.反思的目的是為今后的教學方法創新積累經驗、為活躍課堂氣氛尋找方法、為提高教學效率總結策略.

例如當老師進行角色反思時，可以通過設問的方式來反思自己在教學的各個階段所扮演的角色：在新課程的導入階段，是簡單地進行背景的介紹，還引導學生由淺入深地進行自主的探究？在新知識的講授階段，是介紹方法結合題目練習，還是師生互動，結合例題一同歸納解題方法？在知識的總結階段，是利用傳統的思維導圖幫學生梳理一節課的內容，還是引導學生自主歸納，培養數學思維模式？通過這一個個問題，老師可以反思自己在教學中所扮演的角色，是否有喧賓奪主的情況發生？是否背離了教學中學生為主體的教學本質？

由于受到傳統教學思想的影響，很多教師在教學中的角色沒有發生本質上的轉變，“以師為本”的教學思想固化嚴重，這無疑背離了素質教育的根本要求.通過對教學過程的反思，讓老師真切地認識到自己的角色和定位；通過對教學互動的反思，讓老師體會到以教師為主導教學模式的弊端；通過教學方法的反思，讓老師意識到學生在教學過程中角色的缺失.只有教師從反思中發現問題，才能激勵自己主動去創新教法，轉換角色，以“學生為本”的教學理念才能真正地在教育中生根發芽.

綜上所述，反思意識雖然是教法與學法的創新，但其具有深深的歷史印記.它反映出數學的學習是一個邏輯思維的成型過程、也是一個思維模式的轉化和變化的過程，只有在反思中不斷求真，在反思中不斷累積，才能具有識別題目考查本質的“慧眼”、才能掌握撬動復雜變式題目的“杠桿”、才能擁有打開數學之門的“鑰匙”.更重要的是，老師與學生的反思過程是一個主動求真、求實的過程，是學生自主學習的體現，也是老師教學創新的基礎.所以作為老師，我們不僅鼓勵學生進行學習反思，也要主動開展教學反思，在反思中促進師生的和諧發展和學科的長足進步.