三角函數(shù)有理式積分的實復變計算方法

宋健楠+韓旖帆+許玲珊+陶元紅

摘要：在數(shù)學分析中計算三角函數(shù)有理式積分時，需要利用的萬能公式替換進行求解，而在復變函數(shù)中同樣可以利用留數(shù)定理進行求解，本文選取一個典型三角函數(shù)定積分的計算為例，將兩種方法分別展示，從而比較分析了這兩種方法的優(yōu)缺點。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；有理式積分；萬能公式；留數(shù)定理

三角函數(shù)有理式積分的求解是數(shù)學分析中一個典型的積分計算問題，往往利用萬能公式、組合積分法以及換元法等進行求值。這些定積分還可以運用復變函數(shù)中的留數(shù)定理進行計算，特別是對那些原函數(shù)不易求得的積分，是一個非常有效的方法。已有許多文獻總結(jié)求解三角函數(shù)有理式的思路方法[1-8]，大部分利用實積分中的萬能公式求解。本文為了比較分析三角函數(shù)有理式積分在數(shù)學分析和復變函數(shù)中的兩種計算方法，在學習中進行總結(jié)，整理知識點，選取了一個典型積分 為例，探究并比較兩種方法的區(qū)別與聯(lián)系，對比了兩種不同的解題思路。

一、預備知識

定義1[9] 設(shè)函數(shù) 定義在 ，而在 的任一左鄰域內(nèi) 無界（此時 為 的瑕點），若 在任意 上可積，我們稱積分形式 為 在 上的瑕積分。

定理1[10] 設(shè) 在周線或復周線 所圍的區(qū)域 內(nèi)，除 外解析，在閉區(qū)域 上除 外連續(xù)，則（“大范圍”積分）

利用復變函數(shù)中留數(shù)定理計算三角函數(shù)有理式積分

下面討論利用留數(shù)定理計算上述積分，對比計算方法與上節(jié)中方法的異同。

四.結(jié)論

本文主要討論了計算三角函數(shù)有理式積分不同的兩種方法：分別用萬能公式換元求解和留數(shù)定理兩種不同的解題思路。通過對比分析，我們可以知道，利用萬能公式計算三角函數(shù)積分時，優(yōu)點在于思路清晰簡單，但仍有不足之處，計算量較大，不易獲得原函數(shù)，但如果利用復變函數(shù)中的留數(shù)定理，則可以更加有效地計算出很難獲得原函數(shù)的三角函數(shù)積分，運用較為廣泛，通過總結(jié)我們可以得出兩種方法各有利弊，在今后求解三角函數(shù)積分的過程中，要根據(jù)三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點來確定合適的方法，從而進行有效的計算。

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