挖掘課本例習題教育價值的幾點體會

何慧梅

[摘要]當前課本中的例習題都是經過精心挑選的，非常具有代表性和導向性，且有不可忽視的教育價值，課本中有不少例習題都已演變成各地的高考數學試題。但在調研中發現教師通常會覺得課本例習題過于簡單、缺乏新意，沒有進行深入的研究，也就沒法悟到課本例習題的設計意圖。因此，在教學過程中應當用好用“活”課本例題習題，引導、培養學生發現數學本質，提高問題的洞察力和鑒別力。這里結合多年的基層教學工作經驗就挖掘課本例習題的教育價值問題談談幾點體會。

[關鍵詞]數學；課本例習題；教育價值

課本是教師課堂教學的材料與依托，課本中的例習題不是盲目隨意拼湊的，而是為了幫助學生更深入的認識和運用所學的新知識，具有很高的教育價值。然而調研中發現教師通常會覺得課本例習題過于簡單，缺乏新意，而沒有進行深入的研究。教師應仔細地品味“原題”，讓課本例習題“舞”起來，下面針對挖掘課本例習題的教學價值談幾點體會：

一、在課本例習題教學中理解概念

很多學生認為數學是一門抽象難懂、枯燥無味的學科。例如對于概念理解的問題，學生總覺得晦澀難解，不容易引起學生的學習興趣。教師應充分利用課本例習題，讓學生在可能中探究，以達到授業解惑的目的。

題1、如果橢圓 + =1上一點P到焦點F1的距離等6，則點P到另一個焦點F2的距離是 。 （選修2-1P42練習1）

題2、已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是（0，-2）（0，2），并且橢圓經過點（- ， ），求橢圓的標準方程。（ 選修2-1P40例1 ）

題3、已知橢圓 + =1的右焦點F2作垂直于軸x的直線AB，交橢圓于A，B兩點， F1是橢圓的左焦點。

（1）求△AF1B的周長；

（2）如果AB不垂直于x軸， △AF1B的周長有變化嗎？為什么？（選修2-1P43 練習3）

題4、一動圓與圓外切，同時與圓x2+y2-6x-91=0內切，求動圓圓心的軌跡方程x2+y2+6x+5=0，并說明它是什么樣的曲線。（選修2-1，P50習題2.2B組第 2題）

對例習題由淺入深，層層遞進，環環相印，把思維逐漸引向深入，使學生在輕松中品嘗重重成功的喜悅，既掌握了基礎知識，也充分認識了問題的本質，從而加深學生對數學概念的理解，提高概念教學的有效性。

二、在課本例習題教學中歸納總結

課本中許多例習題看似平淡無奇，如果放棄了對它的探究，那就枉費教材編輯者的一番苦心。因此教師應當通過歸納引申來增強學生獲得知識與技能的運用本領，將幾個例習題組合在一起，形成一個題組，幫助學生建構一個知識網，是形成通性通法的重要途徑。

題5、如圖，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證： OA⊥OB.（選修2-1，P73 習題2.4 A組第6題）

引導學生往改變直線方程或改變拋物線方程是否仍然有 OA⊥OB思路上考慮，下面是所討論結果的歸納總結：

引申1設A，B為拋物線y2=2px（P>0）上原點O以外的兩個動點，若直線過定點（2p，0），則OA⊥OB.（證明略）

引申2 設A，B是拋物線y2=2px（P>0）上兩個非原點的點， O為原點，若OA⊥OB，則直線AB必過定點（2p，0）.（證明略）

結論：A，B 是拋物線y2=2px（P>0）上非原點的兩動點， O為原點，則“ OA⊥OB”的充要條件是“AB所在直線必過定點（2p，0）”.（證明略）

下面舉例說明新結論的應用：

例1、如圖，已知直線與拋物線y2=2px（P>0）交于 A，B，兩點且OA⊥OB， OD⊥OB并于AB相交于點D，點D的坐標為（2，1），求P的值。

法一：聯立直線AB和拋物線的方程消去x，再利用韋達定理可以得到p的值。

法二：因為D（2，1）在直線AB上且OD⊥AB所以易得直線AB的直線方程為y=-2x+5，又OA⊥OB則直線AB過點（2p，0），那么就有2P= ，就得到P= .

例2、 O是直角坐標原點， A，B 是拋物線y2=2px（P>0）上異于頂點的兩個動點，且 OA⊥OB， OM⊥AB并于AB相交于點M，求點M的軌跡方程。

法一：用拋物線的參數方程來解題。

法二：因為 OA⊥OB，由引申2可得直線AB恒過定點N（2p，0），設M點的坐標為M（x，y），因為OM⊥AB，所以有kOMKAB=-1，kOMKMN=-1，則有 =-1.即點M的軌跡方程為：（x-p）2+y2=p2（x≠0）.

教師引導學生使教材中隱含的解題方法、步驟顯示出來，為學生解決此類問題提供了簡便的學習方案，并能以此為示范，不斷地提升學生的歸納、總結能力，這樣也有助于學生思維“深刻性”、“系統性”的培養與鍛煉。

三、在課本例習題教學中領悟思想方法

新課標明確提出：“經過學習，學生在教師的啟發下逐步領會數學的本質，感悟數學思想方法。”很多教師都疑問：“為什么這道題已經在課堂上練過、講過，但考試時學生還是不會？”其實原因就在于學生缺乏抓住其本質的洞察能力，只會機械的聽、記與模仿。教材通過層層遞進的例習題對相關的數學方法進行針對性的訓練，教師在課本例習題教學過程中要注重數學思維的滲透，引導學生發現規律，尋找本質。

題6、如圖，在圓x2+y2=4上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D是垂足。當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？（選修2-1 P41例2）

這道例題主要功能：一是讓學生利用中間變量求點的軌跡方程的方法即為“轉移法”；二是讓學生把所得的軌跡方程與橢圓標準方程進行對比，再判斷軌跡是什么？三是數形結合，讓學生知道通過伸縮變換能使圓變成橢圓，因此為了讓學生更好掌握在求解圓錐曲線軌跡時，利用“轉移法”尋找各個量之間的關系，教材再設置一個例子以及數道練習題進行鞏固。例如：

題7、如圖，設點A，B的坐標分別為（-5，0），（5，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是- ，求點M的軌跡方程。（選修2-1P41例3）

題8、點 的坐標分別是（-1，0），（1，0）直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2，點M的軌跡是什么？為什么？ （選修2-1 P42練習第4題）

通過對課本例習題的講解，引導學生利用數學思想方法去解題，使每道例習題的作用最大化，學生才能領悟不同的思想方法，才會靈活運用數學知識來解決有關的問題。領悟數學思想方法對教師和學生來說都很有必要，而學生數學思想方法意識薄弱以及應用理念不足很大程度上是教師在教學過程中對這方面的不重視或缺乏實質、有效性滲透造成的。

四、在課本例習題教學中拓展思維

研究課本例習題的引申與應用，有利于逐步擴大學生的思維空間，使新的知識內容得以深化，為學生課后的自主探究留下伏筆。

題9、在中△ABC，已知A=45°，C=60°c=10求解三角形。（必修五P4練習1）

這道題利用正弦定理很快就可以得出答案，但如果就題論題，講完此題就草草結束，放棄對它的探究，那么就不能充分發揮此題目的功能。這就需要教師有目的、正確地引導學生進行思考。

變式1在 △ABC中，已知A=45°B=75°，c= ，求解三角形。

變式2 在 △ABC中，已知C=60°a= ，c= ，求解三角形。

變式3 在 △ABC中，已知A=45°，a= ，c= ，求解三角形。

以上變式有拓展、有延伸，形成了一個“問題串”，構成了思維的整體性，體現了思維的層次性和探究性，讓學生在“問題串”的引領下進行系列、連續的思維活動。教師提供給學生的最好的教育應該是激發他們的興趣，拓展他們的思維空間，使他們的潛能得到最大限度的發展，從而使學生真正獲取知識，并使新知識在學習中得以深化。

當前課本里的例習題都是經過精心設計挑選的，很有代表性和啟發性，因此在教學過程中應當用好用“活”課本例題習題，鉆研并挖掘課本例習題的教育價值，引導、培養學生發現數學本質，提高問題的洞察力和鑒別力，并在此基礎上進行探索與反思，有利于學生實現深層次的建構。

參考文獻：

[1]何廣學.利用課本例習題，引領課堂教學走向有效性[J].學苑教育， 2014（13）.

[2]賀勇久.讓習題講評課精彩紛呈[J].中學教學參考，2010（19）.

（責任編輯 陳始雨）