對課題學習最短路徑問題的探究

新疆烏魯木齊市第四十二中學 侯學琴

對課題學習最短路徑問題的探究

新疆烏魯木齊市第四十二中學 侯學琴

最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究。

本節課以數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬問題”為載體，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。

在安排這節課時始終把握一點：如何把問題轉化成學生熟悉的“兩點之間，線段最短”。

“學生是學習的主體”，在如何讓學生成為學習的主體這個問題上，我采用了導學案的形式來引導學生自主探究學習。從學生熟悉的知識入手，給出如下例題：

1.如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路？你的理由是什么？

學生根據已有的知識經驗“兩點之間，線段最短”，很容易解決問題。給學生定好起點，先研究從兩點在一條直線異側，到異側兩點距離和最短開始，給出第二道例題：

2.如圖，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩村供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？

思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗證PA+PB最短呢？

講清楚這道題后，后續的兩個探究都通過一些方法把問題轉化成兩點在一條直線的異側，找最短路徑，知識點不變，只是方法不同而已，讓兩點在一條直線的異側，找最短路徑貫穿始終成為本節課的主線，我們只是利用了軸對稱和平移這兩種方法來輔助我們完成知識點的學習。

在研究從兩點在一條直線同側，到同側兩點距離和最短，從學生感興趣的故事引入，介紹“將軍飲馬問題”：古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫。有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題，精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”。給出探究一。

【問題探究一】如圖，牧馬人從馬棚A牽馬到河邊l飲水，然后再到帳蓬B。問：在河邊的什么地方飲水，可使所走的路徑最短？ 和學生一起分析，把實際問題轉化成數學問題。

思考：能把A、B兩點從直線l的同側轉化為異側嗎？

這個問題的提出，學生很容易想到我們剛學完的軸對稱，利用軸對稱變換轉化成上面完成的兩點在一條直線異側，利用“兩點之間，線段最短”找到最短路徑。

然后繼續給出思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗證PA+PB最短呢？

檢驗學生的預習結果，在黑板上講解如何利用三角形兩邊之和大于第三邊來證明這一結果，強調清楚任意取一點中的“任意”二字，讓學生理解任意的含義。再給出兩個變式：

【變式一】如圖，牧馬人要把馬從馬棚A牽到草地邊吃草，然后到河邊飲水，最后再回到馬棚A。

【變式二】如圖，某一天牧馬人要從馬棚A牽出馬到草地邊吃草，再到河邊飲水，最后回到帳篷B，請你幫他確定這一天的最短路線。

在課堂教學中，教師若能恰到好處地進行“一題多變”，不僅可以擴充知識容量，而且有利于促進學生數學思維能力的培養。學生有差異，教師要及時總結知識和方法，給學生形成一定的經驗，等一等思維慢的孩子，彌補這部分孩子的思維漏洞，給出如下知識總結，幫他們梳理知識：

【歸納小結】1.學了三種情況下的最短路徑問題

（1）兩點在一條直線同側；（2）一點在兩相交直線內部；（3）兩點在兩相交直線內部。

2.關鍵

作對稱點，利用軸對稱的性質將線段轉化，從而利用“兩點之間，線段最短”來解決問題。

在解決探究兩地問題上利用了折紙，通過折疊使河的兩岸重合在一條直線上，再次把問題轉化成我們熟悉的兩點在一條直線的異側，利用“兩點之間，線段最短”找到最短路徑，上一個探究我們利用了軸對稱的方法進行轉化，在這個探究中，學生在折紙的過程中就會自然地聯想到利用平移的方法進行轉化，為平移橋或點做好鋪墊，為后續的講解提供了思路和方法，使得知識的生成自然流暢，易于理解，較好地解決了本節的難點。

【問題探究二】造橋選址問題中的最短路徑問題

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

【歸納總結】 在解決最短路徑問題時，我們通常利用______等變化把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇。

給出一組拓展題鞏固所學知識，對學生的思維提升和訓練。

【拓展題——勇攀高峰】

（1）在AB上找一點P，使得PM+PN最小；

（2）在OB上找一點P，使得DP+AP最小；

（3）在MN上找一點P，使得AP+BP最小；

（4）在對稱軸上找一點P，使得CP+AP最小。

學生利用本節課的知識解決問題。這些圖形都是軸對稱圖形，給學生充分的討論時間，4人小組合作解決問題并相互講解，派代表到黑板上解決問題，學生討論的同時，教師在黑板上畫出圖形，學生解決完，教師作為對孩子出色表現和積極參與的獎勵，給孩子講故事，故事的內容是：數學家高斯18歲時，晚上照例做導師每天多給他布置的幾道難題。有一道題寫在小紙條上，幾個小時過去了，他還是找不到解答方法。但越是困難，他越想攻克，一直持續到天亮，終于解開了這道題。第二天，導師接過他的作業一看，驚呆了，激動地說：“你知道嗎？這是一個有兩千多年歷史的數學懸案！阿基米德沒有解出，牛頓沒有解出，我也正在研究它，昨天不小心把它夾在給你的作業里，你竟然……”很多年后，高斯回憶起這件事時，說：“如果導師告訴我那是一道兩千年沒有解開的難題，我不可能在一個晚上就把它解答出來。”孩子們，你們也正在經歷和高斯相似的這一偉大過程，你們知道嗎，你們剛解決的這四個問題是我們中考壓軸題的一部分，它們的原型是（屏幕上呈現出來）：

【變式一】背景為等腰三角形

如圖,已知在等腰三角形△ABC中,P是底邊AC上的一個動點,M、N分別是AB、BC的中點,若PM+PN的最小值為2，求△ABC的周長。

【變式二】背景為長方形、正方形

如圖所示，四邊形OABC為正方形，邊長為3，點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D在OA上，且D的坐標為（1，0），P是OB上的一動點，則“求PD+PA和的最小值”要用到的數理依據是（ ）

A.“兩點之間，線段最短”

B.“軸對稱的性質”

C.“兩點之間，線段最短”以及“軸對稱的性質”

D.以上答案都不正確

在教學中教師應該注意用好課本，讀懂、理解、吃透教材，全面掌握基礎知識，領悟和把握真正的知識體系和能力結構。

結合重點內容與概念是“雙基”教學的核心內容，是升學考試的必考內容，并且占的比重比較大，因此選擇例題要針對重點內容與概念鞏固“雙基”訓練，提高解題能力。

選擇例題分步設問，要由淺入深，由易到難，使學生掌握新知識，提高解題能力。

注重數形結合，數形結合是研究數學問題常用的一種方法，是學生正確理解、深刻體會知識的好方法。

開闊思路，一題多解。一題多解可以培養學生解題的思考能力，更可以通過較少的題目復習較多的基礎知識，并激發學生的求知欲。

注意題目的變式和引申，抓住例題的特殊點，多角度，全方位探索，培養學生的思維能力。