幾類求解變系數微分方程的方法

山東省棗莊學院 孫 瑞

幾類求解變系數微分方程的方法

山東省棗莊學院 孫 瑞

本文主要是將二階變系數線性微分方程的常系數化解法，推廣到三階變系數線性微分方程的解法，并將這些方法應用到高階變系數線性微分方程的解法中，從而能夠解決實際應用中的一些問題。

變系數微分方程；常系數化法；變量代換；降階法

在一般的系數激勵振動、波導傳輸理論以及其他實際應用問題中，常會遇到一些高階變系數微分方程，如，它們的求解沒有一般的方法。本文是通過二階變系數線性微分方程的常系數化解法，推廣到三階變系數線性微分方程，并在求解高階變系數線性微分方程過程中應用這些方法，進而得到求解的一般方法，從而解決實際應用中的一些問題。

（2）式即為常系數微分方程，未知函數是自變量為t的函數當方程（1）中無x的項，即，令，則可化為一階微分方程，該方程為變量分離方程，亦可求解。這里主要采用自變量代換，將歐拉方程化為常系數線性微分方程。

下面分別用自變量代換、因變量代換、降階法進行求解。

1.自變量代換

對二階變系數線性微分方程

可以用變量代換的方法求解。

由定理1得如下推論：

推論1：三階變系數線性微分方程：

當滿足

解：依據推論1，滿足如下條件：

推論2：對于高階變系數線性微分方程

2.因變量代換

3.降階法

推論5：設方程（4）對應的齊次方程

例4 將三階變系數線性微分方程

綜上所述，自變量代換和因變量代換的計算較為簡單，所以這種求解方法適用于所有類型的變系數微分方程，并且不同的代換方法得到的方程也不同。降階法一般適用于低階方程，但由于要求齊次方程的特解，計算比較麻煩，只有當題目已經告訴我們齊次方程的特解時我們才采用此種方法。對于高階變系數線性微分方程，逐階降階比較繁瑣，所以一般不采用降階法。

我們可以采用變量變換法對特殊類型的變系數微分方程進行相應的處理，將其化為變系數線性微分方程，再根據具體的方程選擇適當的方法求解。

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[5]阮航宇，陳一新.尋找變系數非線性方程精確解的新方法[J].物理學報，2002（2）：177-180.

運動會第三項是短跑比賽。在短跑比賽中，小貓每分鐘跑213米，小貓3分鐘能跑多少米？ 列式：213×3。

學生嘗試用豎式計算，并說一說計算方法。

【設計意圖：引導學生將出現的所有方法進行聯系，進一步明確豎式計算形式與點子圖、列表、口算的形式算理是相通的，明確每一步計算的意義，理解算理。在理解算理的基礎上，掌握算法。】

6.課堂小結

今天這節數學課，大家通過自己的努力，你有什么收獲？還有什么疑問嗎？

【設計意圖：通過回顧所學知識，談收獲，學生在獲得數學知識的同時，提升梳理、概括知識的能力，不僅實現了知識的系統小結，而且進一步體會用兩位數乘一位數的算理，提升算法。】

四、教學反思

《螞蟻做操》 是北師大版數學三年級上冊第六單元乘法的起始課，根據“螞蟻做操”這一主題圖，我設計了“森林運動會”這一情境，將兩位數乘一位數、三位數乘一位數以及練習巧妙地融入到情境當中去，使該情境貫穿課堂始終，充分調動學生的學習興趣和積極性。

首先，在輕松愉悅的課堂氛圍中，通過對乘法算式以及數位相關知識的復習，幫助學生將舊知識進行遷移，為理解算理埋下伏筆，培養學生的知識遷移能力。另外，從“螞蟻做操”這一主題圖很自然地抽象出點子圖，讓學生在點子圖上圈一圈，并用算式記錄自己的思考過程和結果，并在表格中試一試。借助點子圖和表格回顧乘法口算的算理和算法，為引入乘法的豎式筆算打下基礎。

其次，我為學生創設開闊的、自由的學習時空，讓學生自己探索乘法豎式的計算方法，理解豎式每一步的算理。我引導學生發現豎式計算形式與點子圖、列表、口算的形式算理是相通的，都是把12分成10和2，再分別與4相乘，最后把積相加，幫助學生理解用豎式計算乘法的算理。

在理解算理的基礎上，學習和掌握豎式計算的算法。以理馭法，讓孩子們在交流的過程中，互相幫助，取長補短，加深對算法的掌握。