地鐵列車出、進站加、減速的軸向激勵引起出平面振動

張 謙， 陳文化

(北京交通大學 土木工程學院，北京 100044)

地鐵列車出、進站加、減速的軸向激勵引起出平面振動

張 謙， 陳文化

(北京交通大學 土木工程學院，北京 100044)

地鐵列車出、進站時引起的地層波動較為復雜而豐富，主要由于列車加、減速引起的振動特性非常特殊，尤其是地鐵列車軸向激勵作用下的出平面波源特性。按照波函數展開法和鏡像原理，建立隧道壁上的柱面波表達式，再利用Graf加法公式和貝塞爾函數公式，推導軸向激勵作用下的出平面波的振動響應解析解。將軸向激勵看作是沿列車行駛方向變化的情況，假定出、進站下不同的激勵模式，基于上述理論和假設，重點研究出、進站兩種情況的波動差異，分別分析了地鐵列車運行加速度和速度、土層模量、隧道尺寸和埋深等因素對振動反應的影響，計算發現出站過程振動更大，列車越靠近停車站，軸向振動越大，且受到參數變化的影響也越明顯。

地鐵地基；進(出)站；軸向激勵；出平面波；參數分析

近十年來，我國城市地鐵建設迅猛發展，地鐵網絡日益完備，極大地緩解了城市擁擠問題，但同時列車運行引起的環境振動問題也日益突出[1]，圍繞此問題，不少科技工作者開展積極研究工作。針對列車的振源分析以及相關的環境振動問題方面，現今大量研究是采取類似鐵路振源模擬方法[2-4]，分析相關軌道等結構的響應問題[5-6]，沒有考慮出、進站這種特殊的行駛狀態引起的整體地層振動。

地鐵列車運營主要有惰性狀態和正常啟、制動狀態，只有在緊急狀態下，才使用列車緊急制動模式[7-8]。緊急制動時輪軌高頻摩擦，高頻振動迅速被輪軌和制動材料吸收，產生巨大高頻噪聲和發熱燃燒，較少能量以高頻形式迅速在附近介質傳播，一般振動時間短促，目前國內外學者針對這種瞬態響應問題做了大量研究[9-11]。然而列車出、進站是一種振動時間相對較長的變速運動過程，振動以低頻形式向外傳播，周圍較大地層都承受相應制動力或牽引力的軸向激勵作用，形成特殊的激勵柱面波沖擊，但這方面的研究成果很少。為此，列車出、進站作為一種特殊復雜的振動形式，其振動響應問題非常值得探討。

本文視地鐵列車進出、站引起振源以軸向激勵方式作用在地鐵隧道結構外緣土層上，且出平面柱面波傳播，首先利用波函數展開法和鏡像原理[12]求解土體內總波場，根據Graf加法公式[13-14]以及貝塞爾函數的遞推公式進行簡化，再根據地表及襯砌外圍土層的邊界條件求解二維空間下的土體動力響應解。在出、進站過程中，行駛速度相繼改變[15-17]，進一步推導出、進站兩種不同行駛狀態下的行駛速度表達式。通過算例分析，選擇土層上典型點進行振動差異分析，分析列車的行駛加速度、速度、質量、土層彈性模量、泊松比、隧道埋深、半徑等參數變化對進、出站引起的出平面波的振動響應的影響。

1 振源模型與動力方程

1.1 動力分析模型

在列車進、出站過程中，軸向會受到制動力或啟動力的作用，這個激勵過程在整個變速階段一直存在，它是引起出平面波的主要原因。建立柱坐標系(r1,θ1,z1)下的隧道模型，圖1是一個出站荷載分析模型，隧道半徑為r0，軌面到地面的垂直距離為H1。

圖1 地鐵出(進)站時分析模型Fig.1 Vibration model of metro train leaving station

1.2 動力方程

假設土體為彈性介質，考慮問題對稱性,在頻域內, 地鐵出(進)站的動力方程滿足：

(1)

式中：k為波數，大小可以由振動頻率和出平面波波速求得。

1.3 動力方程的解

滿足式(1)的解的形式可以取零階貝塞爾函數，忽略內聚項，因此柱面波勢函數形式應為：

(2)

式中H0(1)(kr1)是零階漢克斯函數，表示一道向外發散的柱面波。

考慮在半無限空間內，只存在入射和反射波。為了利用邊界條件求解系數，針對出平面波的特殊性，采用鏡像原理，將原來半無限空間問題轉換成全無限彈性空間問題，在與地表鏡像位置處構造虛擬隧道波源，采用柱坐標系(r1,θ1)，(r2,θ2)，如圖2所示。

圖2 出平面柱面波的鏡像原理Fig.2 Mirror principium of cylindrical out-of-plane wave

根據鏡像法原理，

(3)

因此半空間內的總波場函數表達式為

(4)

為便于計算，采用Graf加法公式，將(r2,θ2)坐標系里的漢克斯函數轉換到(r1,θ1)坐標系下：

(5)

進一步根據貝塞爾函數遞推公式，得

(6)

其中ε0=1，ε1,2,3,…,n=2。

將式(6)代入式(4)得

(7)

根據邊界條件，

(8)

無窮遠處和地表滿足零應力邊界，假設隧道壁的剪應力等于軸向激勵沿隧道均勻分布的軸荷載，激勵F大小等于行駛加速度a與車輛質量m的乘積，即r=r0處，

(9)

再由貝塞爾函數的求導遞推公式，

(10)

將式(9)和(10)代入式(7)中，可得系數表達式：

(11)

將式(11)代入式(7)后，得到勢函數位移表達式，進一步可以得到相應的振動速度和加速度。

2 加、減速段的激勵模型

2.1 加、減速段激勵模型

列車啟、制動過程中，激勵模式受到啟、制動模式影響[15]，另外軌道結構的排列、軌枕間距、軌道不平順波長、以及行駛速度等因素都會影響振動幅值和頻率[2,16-17]。

2.2 軸向激勵處理方法

列車出、進站時，啟、制動模式會根據線路條件、車輛原因發生變化。軸向力一般遵循增大-平穩-減小的變化過程，大小受行駛加速度、車輛質量和行駛速度等影響[15]。不考慮阻力，假設軸向力增大和減小的過程是線性變化、平穩過程是固定常數，最大牽引力、制動力與車輛質量成正比，則啟、制動行駛加速度模式如圖3。

圖3 列車進、出站時加速度一般模式Fig.3 Acceleration model while the metro train arriving at or leaving station

圖3中，0～t1、t2～t3、0～t4、t5～t6時段都是加速度線性變化過程，k1、k3、k4、k6分別表示斜率，t1～t2和t4～t5分別是出、進站過程中加速度較穩定的階段，a+，a-分別是出、進站平穩階段的加速度。

在列車行駛過程中，振動頻率隨行駛速度的變化關系參考翟婉明的余弦函數假設[2,16-17]，激擾頻率按式(12)，即

(12)

式中:ω為圓頻率，v為行駛速度，L為軌道自身不平順波長。列車進、出站時，振動頻率還受到車輛行駛初速度、行駛時間的影響。

規定列車最大行駛速度vmax為出站末速度以及進站初速度，靜止時速度為零，規定出站加速度方向為正，則進站加速度為負，出、進站行駛加速度以a+，a-表示，行駛時間以t+，t-表示，行駛速度以v+，v-表示，按行駛加速度積分可求。

初始條件滿足：啟動時：a+=0，v+=0；制動時：a-=0，v-=vmax，

出站階段Ⅰ(0≤t+≤t1)：

a+(t+)=k1t+,

(13)

出站階段Ⅱ(t1≤t+≤t2)：

a+(t+)=a+,

(14)

出站階段Ⅲ(t2≤t+≤t3)：

a+(t+)=k3(t+-t3),

(15)

t1和t2處滿足連續條件。進站階段同樣可以按照式(13)～(15)計算，只是注意在進站階段的速度項還要加上初速度vmax，且加速度是負值。

3 地鐵振動參數分析

3.1 進、出站的出平面振動響應

以北京地鐵2號線宣武門車站附近振動情況為例，分析隧道面在軸向激勵下以出平面波形式傳播時的振動響應情況。以隧道正上方外緣土層A點的振動響應為例(圖1)，選取典型算例參數見表1，注意表中彈性模量和密度是土層參數。

表1 出、進站A點振動所需參數Tab.1 Vibration parameters of point A

圖4 列車進、出站A點振動加速度Fig.4 Vibration acceleration of point A while the metro train arriving at or leaving station

按三個階段假設行駛加速度時，列車進、出站過程中，隧道正上方外緣土層A點的振動加速度見圖4。出站階段Ⅰ振動加速度波動很小，到出站階段Ⅱ逐漸加強，最后出站階段Ⅲ振動又減弱；進站階段Ⅰ振動加速度明顯升高，進站階段Ⅱ振動達到峰值后逐漸減小，最后進站階段Ⅲ振動更小。出站振動加速度振幅為1.02 m/s2，位置在出站30 s；進站振動加速度振幅為-0.86 m/s2，位置在進站5 s。

為考察進、出站引起的動力響應的差異性，分析隧道正上方外緣土層A點和斜45°方向B點(圖1)的軸向振動位移規律。

列車進、出站時隧道正上方外緣土層A點和斜45°方向B點的振動位移見圖5。相同行駛狀態下，隧道襯砌外側土層的兩個不同方向的振幅變化規律相似，隧道頂部振幅較大，出站峰值差0.033 mm，進站峰值差0.018 mm。出站過程振動位移先增大后逐漸減小，直到出站完成，峰值發生在出站階段Ⅰ，最大振幅0.582 mm；進站過程振動位移從零逐漸增大，峰值發生在進站階段Ⅲ，最大振幅0.353 mm，進站引起的軸向振動位移峰值是出站的60%。

圖5 出、進站引起A、B點振動位移Fig.5 Vibration displacement of different point while the metro train arriving at or leaving station

基于軸向激勵模式和式(12)，為進一步探討車輛行駛狀態變化以及土層特性和隧道位置尺寸變化對A點振動影響，采用控制變量法，對振動情況進行分析，注意，這里襯砌結構的尺寸、模量以及管片結構的拼裝

等也會影響振動的傳播，卻不是本文重點，在此不予詳細考慮。

3.2 列車運行參數變化時的振動響應

行駛最大加速度、最大速度的改變將影響列車的啟、制動模式。

(1)運行加速度影響分析。假設行駛加速度改變只影響加速度穩定行駛段的時間，即t1～t2和t4～t5階段，保持最大速度不變，行駛時間變化具體見表2，其余參數見表1。

表2 不同制動時間和制動加速度Tab.2 Different moving time and moving acceleration

出站末速度或進站初速度(即行駛最大速度)一定，加速度對出、進站A點的振動位移的影響見圖6。列車出、進站過程中，隨加速度的增大，振幅都有增加，出站階段Ⅰ和進站階段Ⅲ增幅明顯，加速度每增加0.1 m/s2，出站振幅最大增加0.048 mm，進站振幅最大增加0.047 mm。

(2)運行最大速度影響分析。假設行駛最大行駛速度即進站初速度改變只影響進站加速度，制動模式時間保持不變，行駛加速度變化具體見表3，其余參數見表1。

進站時間一定，進站初速度對出、進站A點的振動位移的影響見圖7。列車進站過程中，隨初速度的增加，振幅逐漸增大，進站階段Ⅲ增幅明顯，初速度每增加5 km/h，振幅最大增加0.023 mm。

(3)列車質量影響分析。決定列車質量的因素通常有車輛類型、載客量等，選取m=2.5×103kg、m=5×103kg、m=1.5×104kg、m=5×104kg，4種質量情況，其余參數見表1。

圖6 出、進站不同行駛加速度下的振動位移Fig.6Vibrationdisplacementwithdifferentmovingacceleration圖7 進站不同行駛初速度下的振動位移Fig.7Vibrationdisplacementwithdifferentbrakingoriginalvelocity

表3 不同制動初速度和制動加速度Tab.3 Different braking original velocity and moving acceleration

列車質量對出站、進站A點的振動位移影響見圖8。列車出、進站過程中，隨著質量的增加，振幅都增大，出站階段Ⅰ和進站階段Ⅲ增幅明顯，質量從2.5×103kg到5×104kg，出站振幅最大增加0.55 mm，進站振幅最大增加0.34 mm。

(4)軌道不平順參數影響分析。軌道不平順波長的不同是由于車輛本身、線路動力附加荷載、鋼軌波浪形磨損等多種因素， 選取L=10 m、L=5 m、L=1 m、

L=0.1 m，4種波長情況，其余參數見表1。

軌道不平順參數對出站、進站A點的振動位移影響見圖9。不平順波長大小對出、進站引起的振動位移有一定影響，尤其是不平順波長比較大的情況。

3.3 土層參數變化時的振動響應

(1)土層彈性模量影響分析。選取E=5 MPa、E=15 MPa、E=25 MPa、E=35 Mpa，4種土層彈性模量，其余參數見表1。

土層彈性模量對出站、進站A點的振動位移影響見圖10。列車出、進站過程中，隨著土層彈性模量的增加，振幅都減小，出站階段Ⅰ和進站階段Ⅲ減幅明顯，模量由5 MPa增加到15 MPa時，出站振幅最大減少2 mm，進站振幅最大減少1.3 mm。

(2)土層泊松比影響分析。泊松比的不同通常由于土體種類不同，選取ν=0.15、ν=0.25、ν=0.35、ν=0.45，4種泊松比情況，其余參數見表1。

圖8 出、進站不同列車質量下的振動位移Fig.8Vibrationdisplacementwithdifferentmass圖9 出、進站不同軌道不平順參數下的振動位移Fig.9Vibrationdisplacementwithdifferenttrackirregularityparameters圖10 出、進站不同彈性模量下的振動位移Fig.10Vibrationdisplacementwithdifferentelasticitymodulus

土層泊松比對出站、進站A點的振動位移影響見圖11。列車出、進站過程中，隨著土層泊松比的增加，振幅都有增大，出站階段Ⅰ和進站階段Ⅲ增幅明顯，泊松比從0.25增加到0.35，出站最大增幅0.035 mm，進站最大增幅0.022 mm。

3.4 隧道參數變化時的振動響應

(1)隧道埋深影響分析。隧道埋深一般取軌面到地表距離，選取H1=15 m、H1=19 m、H1=23 m、H1=27 m，4種埋深情況，其余參數見表1。

隧道埋深對出站、進站A點的振動位移影響見圖12。列車出、進站過程中，隨著埋深的增加，振幅都有減小，埋深每增加4 m，出站最多減幅0.054 mm，進站最多減幅0.032 mm。

(2)隧道半徑影響分析。選取r0=3 m、r0=4 m、r0=5 m、r0=6 m，4種半徑情況，其余參數見表1。

隧道半徑對出站、進站A點的振動位移影響見圖13。列車出、進站過程中，隨著隧道半徑的增加，振幅都有減小，隧道半徑增加3 m，出站最多減幅0.19 mm，進站最多減幅0.16 mm。

圖11 出、進站不同泊松比下的振動位移Fig.11VibrationdisplacementwithdifferentPoisson'sratio圖12 出、進站不同隧道埋深下的振動位移Fig.12Vibrationdisplacementwithdifferentburialdepth圖13 出、進站不同隧道半徑下的振動位移Fig.13Vibrationdisplacementwithdifferenttunnelradius

4 結 論

通過上述研究，可以得到地鐵列車進、出站時軸向激勵引起隧道外緣土層振動初步規律：

(1)列車出站時振動加速度峰值發生在出站30 s位置，進站時振動加速度峰值發生在進站5 s位置；出站引起振動加速度最大值比進站略大0.16 m/s2。

(2)隧道襯砌外圍頂部與斜向45°方向的振幅基本一致，反應了振源假設成均勻向外傳播的柱面波的合理性；列車在進、出站過程中，距離停車站越近出平面方向振動位移越大；進站引起的振動位移最大值是出站的60%。

(3)隨列車出站、進站行駛加速度增加，隧道正上方外緣土層(A點)振動位移增大，出站階段Ⅰ和進站階段Ⅲ增幅明顯。隨列車進站初速度的增加，隧道正上方外緣土層振動位移增加。隨列車質量增加，振幅增加，且出站增幅較大。

(4)土層彈性模量或泊松比改變對出站引起隧道正上方外緣土層振動位移影響明顯，尤其泊松比引起振動位移幅值變化是進站的1.59倍。

(5)隧道埋深或隧道半徑增加，隧道正上方外緣土層振動位移變小，但出站較進站大，且變化明顯。

下一步進一步研究地鐵列車進出站引起出平面柱面振動速度問題以及其他參數敏感性。

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Out-of-plane vibration induced by axial excitation while a metro train arriving at or leaving a station

ZHANG Qian, CHEN Wenhua

(School of Civil Enginering, Beijing Jiaotong University,Beijing 100044, China)

Subsoil vibration induced by a metro train arriving at or leaving a station is special and complex. Many wave characteristics are produced by the train deceleration or acceleration process, especially the out-of-plane wave induced by the metro train axial excitation. The wave function expansion method and the mirror principium were applied to build equations on the tunnel wall. The analytical solution of the out-of-plane wave in subsoil under axial excitation conditions was obtained with the Graf addition formula and the Bessel function. The axial excitation was considered as changes along the direction of the moving train. Different excitation mode was hypothesized. Based on the above methods and assumptions, soil-vibration differences between the metro train arriving at the station and leaving the station were investigated. Some parameters such as metro train moving acceleration, speed, soil elasticity modulus, tunnel sizes and burial depth were analyzed to study this type of wave characteristics. The results show that the vibration of leaving process is larger than arriving process. The distance from the station is closer, the stronger vibration and more obvious influence of parameters.

metro subsoil; arriving at or leaving a station; axial excitation; out-of-plane wave; parameters analysis

國家自然科學基金(51178035)

2016-02-25 修改稿收到日期：2016-05-16

張謙 女，博士生，1986年生

陳文化 男，教授，博士生導師，1967年生

TU435

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.016