一種寬頻壓電能量收集裝置的建模與實驗研究

劉少剛， 程千駒， 趙 丹， 馮立鋒

(哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱 150001)

一種寬頻壓電能量收集裝置的建模與實驗研究

劉少剛， 程千駒， 趙 丹， 馮立鋒

(哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱 150001)

為拓寬振動壓電能量收集裝置工作頻帶寬度，提出一種新型兩自由度分段線性能量收集結(jié)構(gòu)，同時為便于未來對該裝置進一步的關鍵參數(shù)優(yōu)化與微小型設計，提出該結(jié)構(gòu)的理論模型并給出解析解結(jié)果，通過對實驗樣機加工與實驗平臺搭建得到所提出裝置發(fā)電性能實驗結(jié)果。對比理論值與實驗值表明，所提出裝置在第一共振區(qū)間與第二共振區(qū)間的工作頻帶寬度分別為2.2 Hz與4.5 Hz，總頻帶寬度達到6.7 Hz，與相對應兩自由度線性系統(tǒng)比較，其拓寬效果達到4.78倍。在誤差允許范圍內(nèi)，裝置發(fā)電性能解析解結(jié)果與實驗值基本保持一致，所提出裝置能夠有效拓寬發(fā)電工作頻帶寬度。

分段線性；兩自由度；拓寬頻帶；壓電；能量收集

近年來集成電路的快速發(fā)展大大減小了微電子元器件的能量損耗，同時由于傳統(tǒng)的電池供能所具有的壽命短及更換程序復雜等缺點，收集環(huán)境中的清潔能源為微機電系統(tǒng)供能的研究受到越來越廣泛的關注[1-5]。相對于其他能量如太陽能、熱能而言，振動能具有無處不在的優(yōu)點，使其成為能量收集最有潛力的能量來源。為實現(xiàn)對振動能量的收集，目前主要有三種能量轉(zhuǎn)換機制，分別為磁電轉(zhuǎn)換[6]、靜電轉(zhuǎn)換[7-10]及壓電轉(zhuǎn)換[11-17]，其中壓電轉(zhuǎn)換機制以其結(jié)構(gòu)緊湊，轉(zhuǎn)換效率高等優(yōu)勢，成為振動能量收集研究的熱點。

振動壓電能量收集系統(tǒng)通常以懸臂梁貼附壓電片的結(jié)構(gòu)形式出現(xiàn)。類似結(jié)構(gòu)在對振動能收集的過程中，通常只在很窄的頻帶上產(chǎn)生峰值電壓，一旦激振頻率偏離裝置的共振頻率，系統(tǒng)的發(fā)電電壓幅值就會急劇下降以至無法輸出足夠能量供微電子元器件使用。由于環(huán)境中大多數(shù)振動源的頻率會在一個區(qū)間內(nèi)變化，因而上述情況嚴重制約了振動能量收集裝置的發(fā)電性能，為了解決這個問題，很多研究通過引入磁力，機械力等作為非線性恢復力拓寬系統(tǒng)發(fā)電頻率[18]。其中，通過引入撞塊，將懸臂梁振動由線性振動改變?yōu)榉侄尉€性振動，十分有效地拓展了裝置的工作頻帶寬度。然而，此類裝置的研究目前僅局限于單自由度系統(tǒng)，迄今尚無針對分段線性多自由度能量收集系統(tǒng)的研究。因此，本文提出兩自由度分段線性能量收集系統(tǒng)機電耦合模型，并通過理論與實驗兩方面研究，驗證了該裝置具有拓寬系統(tǒng)發(fā)電頻帶寬度的性能。

1 工作原理及理論建模

所提出兩自由度分段線性能量收集裝置的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。裝置由一個兩自由度主懸臂梁和一個單自由度從動懸臂梁組成。作為能量轉(zhuǎn)換部件的壓電片貼附于兩自由度主梁的第一段梁上，位于主梁的中部與頂端的質(zhì)量塊將作為振動質(zhì)量。質(zhì)量塊1與從動梁之間有距離為d的間隙，當基座處的外部激振足夠大時，由于質(zhì)量塊在每個振動周期中的位移大于間隙距離d而與從動梁發(fā)生碰撞作用。因此，系統(tǒng)此時每個周期的運動狀態(tài)分為兩部分，即碰撞前與碰撞后，系統(tǒng)整體運動狀態(tài)呈分段線性振動狀態(tài)，其也屬于非線性振動中的一種特殊情況。

圖1 兩自由度分段線性壓電能量收集裝置結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Geometric construction of the proposed two-degree-of-freedom piecewise-linear energy harvester

為方便對系統(tǒng)進行理論建模，其等效集中參數(shù)模型如圖2所示。圖中，參數(shù)m1和m2分別表示主梁上的振動質(zhì)量，系數(shù)k1,k2分別為主梁兩段梁的等效剛度，兩段梁的等效阻尼表示為c1,c2。由于相對振動質(zhì)量m1而言，從動梁的質(zhì)量可以忽略不計，從動梁可等效為彈性系數(shù)k3以及阻尼系數(shù)c3。當裝置基座受到諧波信號z0(t)作用時，振動質(zhì)量m1和m2將跟隨基座一起振動，其振動位移表示為z1(t)及z2(t)。對應于上文提到的碰撞前與碰撞后系統(tǒng)的兩部分運動狀態(tài)，往復位移z1(t)和z2(t)分為兩個階段：第一階段為振動質(zhì)量m1與從動梁之間的相對位移小于間隙d時，第一段梁的等效剛度與等效阻尼保持k1及c1不變；第二階段為振動質(zhì)量m1與從動梁之間的相對位移大于間隙d時，由于振動質(zhì)量m1與從動梁發(fā)生碰撞而帶動從動梁一起振動，首段梁的等效剛度與等效阻尼將發(fā)生改變，其值將由原來的k1和c1變?yōu)閗1+k3和c1+c3。

圖2 所提出裝置等效集中參數(shù)模型Fig.2 Spring-mass-damper model of the proposed device

設y0=z0、y1=z1-z0及y2=z2-z1，圖2所對應的運動學方程可簡化為:

(1)

式中:z0(t)=Zcos(ωt),Z表示激勵信號位移的振幅，ω表示激勵信號頻率,v表示負載電阻RL兩端的電壓值。當負載電阻RL的值無限接近于無限大時，v表示壓電片產(chǎn)生的開路電壓。參數(shù)Cp表示壓電片的電容量，Θ表示系統(tǒng)的電能轉(zhuǎn)換系數(shù)，其值大小與壓電片的壓電常數(shù)d31呈正比。另外，式中非線性項可以表示為：

2 解析解求解

系統(tǒng)運動微分方程組(1)的解通常能使用MATLAB軟件中的龍格庫塔函數(shù)經(jīng)數(shù)值計算得到。然而相對于解析解求解而言，數(shù)值計算過程需要經(jīng)行多次冗長的迭代計算過程，同時數(shù)值計算得到的數(shù)值解底層數(shù)學模型不明顯而不方便后續(xù)對該裝置關鍵參數(shù)的優(yōu)化研究。因此，本文將給出兩自由度分段線性能量收集系統(tǒng)的解析解求解方法[19-20]。

(2)

式中引入的新參數(shù)可以表示為：

采用變換形式：

(3)

式中:引入的新參數(shù)Ak及θk分別表示系統(tǒng)分別處于一階與二階共振區(qū)間時所對應的幅值及相位角，相位角可以表示為θk=ωt+?k，?k表示初始相位角。可以觀察到線性系統(tǒng)的解與非線性系統(tǒng)的解區(qū)別在于線性系統(tǒng)解中的幅值參數(shù)Ak及相位角參數(shù)?k為常數(shù)，而非線性系統(tǒng)中幅值參數(shù)Ak及相位角參數(shù)?k為相對于時間的變量。因此，對上文非線性系統(tǒng)的分析可以通過研究相位角與幅值的變化實現(xiàn)。

將假設解(3)代入方程組(2)中可以得到：

s=1,2,3,4,5

(4)

(5)

(6)

根據(jù)工程實際經(jīng)驗表明，當主梁在其兩階共振區(qū)間中的一個區(qū)間振動時，另外一個區(qū)間對應的主共振幅值對振動質(zhì)量的位移的影響可以忽略不計。因此，當此處對主梁的第二階共振區(qū)間進行討論時，第一共振區(qū)間對應的幅值A1的值可以假設為0，非線性方程組(2)的近似解簡化為Xs=A2φs2(θ2),s=1,2,3,4,5。由此，由等式(5)可求得參數(shù)φ2(A2,θ2)，經(jīng)過簡化，其表達式為：

(7)

為了求得參數(shù)φ2在一個完整周期的平均值，需要對非線性部分表達式f(A2,θ2)進行傅里葉變換。由于表達式f(A2,θ2)傅里葉變換式中的高階諧波項相對于一階諧波項而言，大小可忽略不計，保留一階諧波項f(A2,θ2)的傅里葉表達式可表示為：

(k3cosθ2-λ2c3sinθ2)·H]

將參數(shù)φ2的表達式(7)代入平均值式(6)可得到：

新引入的參數(shù)δe(A2)表示幅值A2的等效衰減系數(shù)，其表達式為：

(9)

參數(shù)Pe(A2)表示系統(tǒng)等效線性固有頻率，其表達式為：

(10)

(11)

由于主梁是在二階共振區(qū)間內(nèi)振動，式(10)中的參數(shù)2λ2可近似替換為2ω，同時式(11)中的參數(shù)2λ2可近似替換為Pe(A2)+ω。對方程組兩邊進行平方求和，可以得到幅值A2相對于激振頻率ω的幅頻響應關系表達式：

(12)

將式(12)中的參數(shù)λ2,A2,?2,Δ2替換為參數(shù)λ1,A1,?1,Δ1，可以得到第一共振區(qū)間對應幅值A1相對于激振頻率ω的幅頻響應關系表達式。

根據(jù)X5=v定義以及基礎解系φ5k(θk)的值，可以求得電壓幅值Vk表達式為：

(13)

由位移幅值Ak相對于激振頻率ω的幅頻關系表達式(12)及式(13)，可以快速求得電壓幅值Vk相對于激振頻率ω的幅頻響應關系表達式。

3 樣機加工與實驗測試

3.1 實驗樣機加工

所提出新型能量收集裝置的實驗樣機如圖3所示，其主要參數(shù)見表1。裝置的主梁與從動梁分別由鋁片加工而成，主梁分為連續(xù)的兩部分，第一段梁和第二段梁，在第一段梁上，貼有一片由Smart Material公司制造的型號為M-2814-P2壓電纖維片作為電能轉(zhuǎn)換部件。在每段梁的頂端，由螺栓組固定幾片鋁制質(zhì)量片與各段梁一起作為等效振動質(zhì)量。主梁與從動梁分別固定于基座的外部與內(nèi)部部件上，基座內(nèi)外兩部件由螺栓組連接，內(nèi)部部件可以上下移動以便調(diào)整振動質(zhì)量m1與從動梁之間的間隙大小。

圖3 實驗樣機Fig.3 The experimental prototype

參數(shù)數(shù)值第一段梁尺寸l1×b1×t1/mm340×20×0.5第二段梁尺寸l2×b2×t2/mm360×12×0.5從動梁尺寸l3×b3×t3/mm355×12×1.5等效振動質(zhì)量m1/g9.6等效振動質(zhì)量m2/g4.68間隙距離d/mm1等效電容Cp/nF25.7壓電常數(shù)d31/(pm·V-1)170相對介電常數(shù)ε331560

3.2 實驗測試方法

實驗裝置的連接簡圖如圖4所示。實驗樣機固定于型號為JZK-5的電磁激振器上，激振器由型號為DH1301的信號發(fā)生器提供激振信號，由于DH1301信號發(fā)生器自帶一個小型功率放大器，因此其產(chǎn)生的信號可直接驅(qū)動激振器工作。通過D1301信號發(fā)生器調(diào)節(jié)激振頻率從15 Hz向60 Hz逐步增大進行掃頻實驗，在掃頻過程中，基座上的加速度測量儀DH151可測量激振信號的加速度大小并通過動態(tài)信號分析儀DH5939D及PC端對其進行監(jiān)控，通過反饋控制，保持激振信號的加速度大小在掃頻過程中大小分別保持3 m/s2不變。壓電片的輸出電壓由數(shù)字示波器DS5202CA測量，電信號通過外接10 MΩ的信號探針替代負載，可近似測量系統(tǒng)的開路輸出電壓值。

圖4 實驗裝置圖Fig.4 The entire experiment setup

4 結(jié)果與討論

根據(jù)實驗樣機參數(shù)表1及實驗測試方法中所給激振加速度值及外接負載值，可通過上文中給出的解析解結(jié)果表達式分別求得所加工樣機在第一共振區(qū)間與第二共振區(qū)間的輸出開路電壓幅頻曲線，同時，根據(jù)實驗樣機測試，也可得到實驗樣機的實驗結(jié)果。

所提出新型能量收集裝置及其對應線性系統(tǒng)第一共振區(qū)間的發(fā)電性能如圖5所示。當外部激振頻率由小往大變化時，實驗值與理論值之間存在一定誤差。由實驗測得裝置所對應線性系統(tǒng)的共振頻率為19.3 Hz，與理論值得到的共振頻率為21.2 Hz存在8.96%相對誤差，這些誤差可能是由實驗中的測量誤差和集中參模型中的一些模型簡化造成的。同時可以觀察到實驗得到的線性系統(tǒng)開路電壓小于理論計算值，分別為26.15 V和29.65 V，相對誤差為11.8%，這種現(xiàn)象是因為壓電片無法完美地貼附于懸臂梁上，從而導致壓電片上的應力值及能量轉(zhuǎn)換效率減小造成的。而觀察分段線性系統(tǒng)開路電壓實驗值與理論值曲線可以發(fā)現(xiàn)，兩者之間的差距明顯大于線性系統(tǒng)，其在峰值處的值分別為22.35 V和26.86 V，相對誤差達到了16.68%，這表明在分段線性系統(tǒng)中，除了由壓電片不完美貼合造成的能量損失外，還有其他造成電壓損失的因素。分析分段線性系統(tǒng)的運動特性，可知振動質(zhì)量m1與從動梁之間的碰撞屬于非完全彈性碰撞，正是由于非完全彈性碰撞中引起的能量損失造成系統(tǒng)電能轉(zhuǎn)化效率的下降，但是所損失的能量并不會嚴重影響到系統(tǒng)的發(fā)電性能。

圖5 第一共振區(qū)間電壓幅頻曲線Fig.5 The frequency response of the voltage in the first resonance region

雖然在共振頻率點及峰值電壓上，理論值與實驗值存在一定的誤差，但是所提出分段線性系統(tǒng)在第一共振區(qū)間上的電壓幅頻曲線變化趨勢及工作頻帶拓寬性能上，所得到的實驗值與理論值相吻合。從變化趨勢看，電壓幅頻曲線首先沿著系統(tǒng)對應線性系統(tǒng)的電壓幅頻曲線變化，當外部激振頻率增加到某一點位，分段線性系統(tǒng)中開始出現(xiàn)振動質(zhì)量m1與從動梁之間的碰撞，其電壓幅頻曲線將改變原線性系統(tǒng)的幅頻曲線變化趨勢，呈緩慢上升變化，當外部激振頻率持續(xù)增加到某一點位，由于非線性振動多解性導致的跳躍特性，電壓幅頻曲線將發(fā)生跳躍現(xiàn)象，電壓幅值直接由高點位急劇下降至線性系統(tǒng)對應的值，之后再次沿著線性系統(tǒng)電壓幅頻曲線變化。從拓寬頻帶性能看，在第一共振區(qū)間內(nèi)，分段線性系統(tǒng)在較高電壓的工作頻帶寬度的實驗值與理論值分別為2.2 Hz與2.4 Hz，相對于線性系統(tǒng)在對應電壓值的工作頻帶寬度0.5 Hz而言，都有較大的拓寬比例。

所提出新型能量收集裝置及其對應線性系統(tǒng)第二共振區(qū)間的發(fā)電性能如圖6所示,對應線性系統(tǒng)在共振頻率點與峰值電壓的實驗值與理論值都存在誤差，造成誤差的原因與第一共振區(qū)間類似。而觀察分段線性系統(tǒng)的電壓幅頻變化曲線可發(fā)現(xiàn)，第二區(qū)間電壓峰值的實驗值與理論值之間的差距比第一區(qū)間要大，分別為14.01 V和18.51 V，相對誤差達到了24.22%。這種現(xiàn)象同樣是由振動質(zhì)量m1與從動梁之間的碰撞損失造成的，系統(tǒng)在一階共振區(qū)間工作時，工作頻率大約為20 Hz，而在第二區(qū)間工作時，工作頻率大約為50 Hz，這意味著系統(tǒng)在第二共振區(qū)間工作時發(fā)生碰撞的次數(shù)將大于第一共振區(qū)間，也將導致更多的碰撞能量損失，從而表現(xiàn)出系統(tǒng)在第二區(qū)間內(nèi)的能量轉(zhuǎn)換效率低于第一共振區(qū)間?？紤]到此前一些線性結(jié)構(gòu)的研究也存在10.2%左右誤差的情況及文中模型對碰撞能量損失的忽略，文中所得相對誤差在可接受范圍之內(nèi)。

系統(tǒng)在第二共振區(qū)間的變化趨勢與第一區(qū)間類似，同時，系統(tǒng)在較高電壓的工作頻帶寬度的實驗值與理論值分別為4.5 Hz與4.6 Hz，相對于線性系統(tǒng)在對應電壓值的工作頻帶寬度0.9 Hz而言，同樣都有較大的拓寬比例。

圖6 第二共振區(qū)間電壓幅頻曲線Fig.6 The frequency response of the voltage in the second resonance region

綜合所提出分段線性系統(tǒng)在兩區(qū)間的拓寬頻帶表現(xiàn)，其在較高電壓處的總工作頻帶寬度的實驗值為6.7 Hz，相對于對應的線性系統(tǒng)的工作頻帶寬度1.4 Hz而言，頻帶寬度拓寬了將近4.78倍。雖然，分段線性系統(tǒng)相對于線性系統(tǒng)電壓峰值有所下降，但是針對環(huán)境中振源常在一定頻率范圍變化的實際情況而言，所提出裝置能在較寬頻率范圍內(nèi)保持比線性裝置大得多的電壓值(如圖5中實驗值對應的19.5 Hz到21 Hz及圖6中實驗值對應的48.4 Hz到51.6 Hz)，因此具有相對較高的能量收集效率。

5 結(jié) 論

為拓寬基于振動源的壓電能量收集裝置工作頻帶，提出一種新型兩自由度分段線性能量收集結(jié)構(gòu)，針對該結(jié)構(gòu)提出理論模型并給出解析解結(jié)果，通過加工實驗樣機和搭建實驗平臺得到所提出新裝置的能量收集性能，通過將實驗值與理論值對比得到結(jié)論如下：

(1)雖然所給出的解析解理論值與實驗值存在一定的誤差，但誤差值在可接受范圍之內(nèi)。與此同時，解析解所給出的電壓幅頻曲線變化趨勢與頻帶拓寬性能與實驗值保持一致，表明所提出理論模型與解析解結(jié)果可用于該裝置進一步的參數(shù)優(yōu)化設計與微小型化設計；

(2)不論是實驗結(jié)果還是理論結(jié)果都表明所提出的兩自由度分段線能量收集裝置能夠有效的拓寬工作頻帶拓寬，其工作頻帶總寬度能夠達到6.7 Hz，與相對應的線性系統(tǒng)比較，頻帶拓寬效果能達到將近4.78倍。

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Modeling and experiment of a piezoelectric energy harvester with wide operation bandwidth

LIU Shaogang, CHENG Qianju, ZHAO Dan, FENG Lifeng

(Mechanical & Electrical Engineering College, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

A novel two-degree-of-freedom piecewise-linear piezoelectric energy harvester was proposed to achieve wide operation frequency bandwidth. The theoretical model was established and the analytical solutions were obtained for further optimized design and microminiaturization fabricating of the proposed device. Through the prototype fabricating and the experiment platform building, the experiment results were obtained. The analytical results and experiment results show that the operation frequency bandwidths of the proposed device in the first resonance region and in the second resonance region were 2.2 Hz and 4.5 Hz, respectively. The total bandwidth is 6.7 Hz, which reaches as 4.78 times as the corresponding linear system. Within the margin of error, the analytical solutions are close to the experiment results, and the proposed device can extend the bandwidth of the operation frequency efficiently.

piecewise-linear; two-degree-of-freedom; bandwidth extending; piezoelectric; energy harvester

國防技術基礎科研基金資助項目(Z192013B001)

2015-09-23 修改稿收到日期：2015-11-23

劉少剛 男，博士, 教授，1962年生

TB123; TN384; O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.005