混凝土單軸動態拉伸強度隨機性的統計特性分析

金 瀏， 韓亞強， 杜修力

(1.北京工業大學 城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124; 2.清華大學 土木工程系，北京 100084)

混凝土單軸動態拉伸強度隨機性的統計特性分析

金 瀏1,2， 韓亞強1， 杜修力1

(1.北京工業大學 城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124; 2.清華大學 土木工程系，北京 100084)

混凝土拉伸破壞行為是混凝土試件及結構力學行為的重要組成部分，其與加載速率密切關聯。針對混凝土材料靜、動態拉伸強度的隨機性和離散性，探討了骨料分布形式的影響規律。從細觀角度出發，假定混凝土是由骨料顆粒、砂漿基質及界面過渡區組成的三相復合材料，考慮各相材料動態加載下力學特性的應變率效應，建立了混凝土動態力學行為研究的細觀尺度力學模型與方法。以雙邊缺口混凝土試件為例，對5組不同應變率下64個具有不同骨料分布形式的混凝土試件的單軸動態拉伸力學行為進行了數值試驗。基于概率統計分析理論，對不同應變率下混凝土動態抗拉強度的離散性進行了統計分析，包括均值、方差及分布形式等概率統計特性。研究表明：混凝土動態抗拉強度服從雙參數Weibull分布；隨著應變率的增大，混凝土抗拉強度離散性逐漸減小。

混凝土；細觀力學方法；動態抗拉強度；隨機性；統計特性

混凝土是由砂漿及其內部隨機分布的骨料、初始缺陷等組成的非均質復合材料，其內部組成的非均質性，導致了混凝土力學性質特別是強度的隨機性和離散性[1]。這種隨機離散性可能會對混凝土工程結構大變形災變破壞過程模擬研究的準確性產生很大的影響。因此，對混凝土強度離散性規律的研究具有重要的科學意義。

混凝土材料的強度主要通過力學試驗和數值模擬等方法來獲得。通過力學試驗來獲得混凝土強度離散性的統計特性，需要耗費較多的人力物力和時間成本。因此，數值模擬成為常用的實現途徑。杜修力等[1]基于細觀尺度計算模型，實現了64組混凝土的單軸靜態壓縮模擬，獲得了強度及其應力-應變關系曲線軟化段的統計規律，其結果表明混凝土強度及其軟化段均服從雙參數Weibull分布。WANG等[2]同樣采用數值模擬手段，建立了100組具有隨機分布的橢圓形骨料和孔隙的混凝土樣本，獲得了100條單軸拉伸狀態下的宏觀應力-位移關系曲線。其研究表明：數值樣本的應力-位移響應與混凝土細觀結構的隨機性密切相關；骨料和孔隙空間分布不同時，混凝土在外荷載作用下產生的初始微裂紋及后續宏觀裂紋的路徑不同(即裂紋擴散路徑不同)，進而導致混凝土宏觀強度的差異。

由于混凝土的抗拉強度遠低于其抗壓強度，故抗拉強度在很多情況下對結構的可靠性和安全性起著決定性的作用。在混凝土結構設計時，不僅要考慮靜荷載，還需考慮動荷載如地震荷載(應變率約為10-4～10-1s-1)作用的影響。近年來，不少研究者，如竇遠明等[3-4]通過試驗方法探討了動態加載下混凝土的動態抗拉特性。這些工作促進了對混凝土動態拉伸強度及破壞機理的認識，但少見對混凝土動態拉伸強度隨機性的分析。UNGER等[5]的數值研究工作表明，骨料的空間分布形式是造成混凝土強度隨機非均勻性的最重要因素。

混凝土宏觀力學性質取決于內部組成的非均質性。本文采用數值模擬的手段，考慮骨料分布對混凝土動態抗拉強度離散性的影響，建立了混凝土宏觀力學性能研究的細觀尺度分析模型與方法。針對5組不同的應變率(準靜態荷載1×10-5s-1，地震荷載1×10-4、1×10-3、1×10-2和1×10-1s-1)，模擬了64個不同骨料分布形式下的混凝土試塊的單軸拉伸破壞行為。進而基于概率理論，分析得到了單軸動態抗拉強度的統計特性，并揭示了骨料分布形式對混凝土拉伸強度隨機性的影響規律。

1 混凝土單軸動態拉伸力學行為

1.1 混凝土細觀尺度模型

混凝土宏觀力學性能與其微/細觀結構密切關聯[2]。這里從細觀角度出發，同文獻[1, 2, 5]的工作，將混凝土看作由骨料顆粒、砂漿基質及兩者間界面過渡區組成的三相復合材料。采用帶缺口的試件進行混凝土單軸拉伸試驗是一種普遍做法[6]。為了將數值模擬結果與后期的試驗結果進行對比，本文亦采用雙邊缺口試件進行數值模擬。圖1即為采用“取-放”方法建立的二維混凝土雙邊缺口試件，試件的高度為200 mm，寬度為100 mm。為簡化計算，假定骨料均為圓形[7]，級配采用Fuller級配來描述：中石(直徑d=20 mm) 12顆，小石(d=11 mm) 58顆。骨料位置的確定需采用Monte Carlo法隨機投放，在Fortran中編程隨機計算出每一個骨料的圓心坐標并賦予半徑，并保證各個骨料間不重疊，進而可以確定細觀數值模型中骨料的節點和單元信息。骨料周圍的薄層區域為界面過渡區(ITZ)，過渡區界面的真實厚度為“微米”量級，但考慮到計算效率的限制，這里將過渡區界面厚度設為1 mm[8]。正如圖1所示，各相材料具有不同的顏色，代表具有不同的力學特性。另外，考慮到數值模型的計算量問題，網格劃分尺寸為1 mm。

圖1 細觀力學計算模型Fig.1 Meso-scale mechanical model

混凝土試件單軸動態拉伸加載的邊界條件為：兩側為自由邊界；底部節點采用豎向約束，其中最左側節點為水平向約束；上部邊界施加載荷，采用恒定速率v進行加載控制。

1.2 細觀組分本構關系及力學參數

ZHOU等[9-10]對混凝土的動態拉伸破壞行為進行了數值模擬。其數值結果表明，由于骨料間的拉伸強度明顯高于砂漿及界面過渡區，因而沒有發生斷裂破壞。本文集中于探討中低應變率下混凝土的動態力學行為，故而亦假定骨料不發生斷裂破壞，為線彈性體。

GROTE等[11]試驗研究表明砂漿力學性能與混凝土類似，因此可以采用由LUBLINER等[12]提出的后經LEE等[13]改進的塑性損傷模型來描述其力學行為。過渡區界面本質上是一層孔隙率較高的砂漿，故其力學行為亦可以用該本構模型來表征[14]。該損傷模型認為混凝土的破壞機制為拉伸破壞(tensile failure)和壓碎破壞(compressive crushing)。其不僅能夠表征混凝土在外荷載作用下的塑性永久變形，而且能夠描述混凝土由于損傷累積而導致的剛度退化及達到強度后的材料軟化力學行為，得到了廣泛運用，如文獻[14-16]。關于該本構模型的詳細描述，可參見文獻[15]。

相比于抗拉及抗壓強度，混凝土的其它力學參數如彈性模量、泊松比、能力耗散能力及峰值應變率等敏感性較弱[11,15]。鑒于此，本文中僅考慮材料強度的放大行為，用強度的動態增大系數DIF來表示細觀組分的應變率效應。考慮到細觀組分材料拉伸及壓縮強度的動態放大效應，采用CEB規范給出的抗壓強度放大效應(CDIF)，即

(1a)

(1b)

(2a)

(2b)

表1 細觀組分材料主要力學參數Tab.1 Mechanical parameters of the meso components

注：“*”數據取用文獻[17]。

1.3 計算模型的驗證

文獻[15]對動態拉伸情況下的混凝土破壞力學行為進行了細觀數值研究，獲得的圖2所示的數值結果與試驗結果吻合良好，證明了所采用細觀力學方法的合理性和準確性。下文在該細觀力學方法基礎上，對模型中細觀組分進行了更加細致的劃分，考慮了骨料和砂漿間界面過渡區的影響，界面相具體參數同文獻[17]。基于更加細化的細觀力學模型，數值研究了骨料空間分布對混凝土動態拉伸強度影響。如上文所述，骨料的空間分布是造成混凝土材料隨機非均勻性的最重要因素，初始缺陷、骨料形狀等其它因素將另文探討。

圖2 動態拉伸數值結果與試驗結果對比Fig.2 Comparison between the available experimental data and numerical results for dynamic tension

1.4 單軸動態拉伸破壞行為

為探討混凝土動態抗拉強度的隨機離散性，本文選取的5組應變率包括準靜態荷載：1×10-5s-1，以及地震荷載(應變率約為10-4～10-1s-1)：1×10-4、1×10-3、1×10-2和1×10-1s-1。基于已驗證的細觀尺度力學分析方法，對64個具有不同骨料空間分布形式的混凝土試件的單軸動態拉伸破壞行為進行了數值研究。由于篇幅所限，這里僅給出其中兩組試件在不同加載速率下的破壞模式。

圖3(a)和3(b)為隨機選擇的兩組混凝土試件的損傷狀況，從圖3中可以看出，骨料空間位置不同時，加載速率相同的兩試件在拉伸荷載作用下產生的損傷狀態分布不同。當應變率較低時(1×10-5s-1和1×10-4s-1)，試件的最終破壞模式大致是一條連接試件兩缺口的貫通裂紋。裂紋路徑沿著骨料周圍相對薄弱的過渡區界面發展，裂紋的長短決定了拉伸破壞耗能的多少。而試件兩缺口之間骨料的分布影響了裂紋的長度，進而影響著宏觀拉伸強度。因此，兩塊骨料分布位置不同的試件，雖然內部骨料總數是相同的，但在缺口附近骨料的分布則有較大差異，且這種差異會表現在不同試件的宏觀拉伸強度上。隨著應變率的增大(1×10-3s-1和1×10-2s-1)，試件拉伸破壞時裂紋的路徑發生了變化，裂紋逐漸變寬且數量逐漸增多，試件拉伸破壞所耗費的能量增加。當應變率達到1×10-1s-1時，試件拉伸破壞時兩缺口之間及其附近全部變成損傷區，損傷耗能明顯增加。本質上來說，正是這種損傷裂紋路徑及損傷區域分布的不同導致了混凝土宏觀拉伸強度的離散性和隨機性。下文將對獲得的抗拉強度的離散性進行統計分析。

圖3 不同應變率下混凝土拉伸損傷狀況Fig.3 Tensile damage distribution of the concrete specimens under different strain rates

2 Weibull分布理論

統計強度理論或統計最弱鏈理論多年來為傳統脆性斷裂研究奠定了基礎[18]。統計最弱鏈理論假設材料是由很多小單元組成，當材料中任一單元失效便認為材料破壞，每個“鏈”應力自零到σ失效的概率可采用分布函數F(σ)來描述

(3)

式中:φ(σ)是與模型失效有關的應力函數。

雙參數Weibull分布的分布函數和密度函數為：

(4)

(5)

式中：β(>0)代表尺度參數，起著放大和縮小曲線橫坐標尺度的作用，但也不影響曲線的形狀；m(>0)代表形狀參數，影響著概率密度函數曲線的形狀。

服從雙參數Weibull分布的隨機變量的數學期望和標準差分別為

(6)

(7)

式中:符號Γ代表伽馬函數，離散系數為

(8)

3 數據處理與分析

3.1 分布模型初步估計

本文采用繪制數據的頻數直方圖的手段來粗略估計概率密度函數。為了能夠較為準確地反映概率密度函數的形狀，應根據經驗公式(7)劃分本文直方圖區間的數目k[18]

k=1+log2N

(9)

由于文中5組應變率下的樣本數量均為N=64，因此區間數目均為k=7。將每組數據值由小到大排列，繪制如圖4所示的頻數直方圖。由圖4可知，各組數據均大致服從Weibull分布。

3.2 分布參數估計

通過圖解法、最大似然估計等方法[18]對Weibull分布參數進行求解，首先以圖解法求解得到不同的參數組合，然后用逐步回歸法獲得最優參數解。將每組應變率的強度值按升序排列，其概率分布滿足式F(x)=(n-0.5)/N，其中：x為樣本;n為第n個樣本數據；N為總樣本數據，n≤N。

圖4 不同應變率下混凝土試件抗拉強度分布直方圖Fig.4 Histograms of tensile strength of the concrete specimens under different strain rates

對于雙參數Weibull分布模型，有

(10)

對上式兩側取雙對數，得

ln[-ln(1-F(x))]=mlnx-mlnβ

(11)

Weibull參數分析的線性擬合圖上，規定lnx為橫坐標，記為X；ln[-ln(1-F(x))]為縱坐標，記為Y。從而上式便可以寫成直線方程Y=bX+a的形式，其中a=-mlnβ，b=m。直線方程的截距a和斜率b均由最小二乘法解得

(12)

于是有

(13)

基于此，對不同應變率下(10-5s-1、10-4s-1、10-3s-1、10-2s-1和10-1s-1)混凝土抗拉強度數值進行線性擬合分析，擬合結果如圖5所示。據線性擬合方程及X與Y的相關系數R，求解Weibull分布參數m和β，進而可以獲得如均值E(x)、標準差S和離散系數C等不同骨料分布形式下混凝土抗拉強度數值的統計特性參數，詳見表2。

3.3 Weibull分布模型K-S檢驗

頻數直方圖的形狀會隨著劃分區間數目的變化而產生很大的差異，以直方圖的形狀來估計數據的分布形式并不完全可靠， 尚需對假設分布進行檢驗。不同應變率下(10-5s-1、10-4s-1、10-3s-1、10-2s-1和10-1s-1)混凝土抗拉強度的分布問題實質上也是一非參數檢驗問題。K-S檢驗法的基本思想是檢驗假設的理論概率分布F(x)與觀測樣本xi的累積頻率Fn(x)之間差異的大小。將觀測樣本xi按升序排列，樣本容量為n，待檢驗的原假設為H0：Fn(x)=F(x)，相應的備選假設為H1：Fn(x)≠F(x)。其中Fn(x)為樣本分布函數，F(x)為理論函數。如果滿足式(12)，則原假設成立。

表2 不同樣本數據的Weibull參數統計表Tab.2 Weibull parameter statistics of different sample-data

圖5 不同應變率下混凝土抗拉強度對應的Weibull參數分析的X與Y線性擬合圖Fig.5 Linear fitting of X and Y for Weibull parameteranalysis at the five different strain rates

(14)

式中：Dn是一個分布依賴于n的隨機變量；Dn,α代表顯著水平為α時的臨界值。

表3是各應變率下混凝土抗拉強度的K-S檢驗情況，由表可知各統計量D的臨界值Dn,α均大于計算值Dn。根據表3的檢驗結果，得出如下結論：在95%保證率(即α=5%)的情況下，可以認為不同應變率下混凝土抗拉強度均服從Weibull分布。

3.4 骨料分布對混凝土強度的影響

圖6給出了樣本數據的概率密度函數曲線。從圖中不難發現，隨著應變率的增加，概率密度函數曲線輪廓由低而寬變得高而窄，數據分布逐漸趨于集中，離散性減小，與表2中離散系數反映的情況一致。同時可以注意到，表2中各應變率下混凝土抗拉強度的離散系數均小于WANG等的計算結果(離散系數為0.041)，可能是由于模型中并未考慮初始孔隙的影響造成的。

圖7為理論分布曲線和累積概率分布曲線，從圖中可以看出，樣本數據均落在了理論曲線附近，這也反映了假設分布的合理性。

4 結 論

混凝土強度具有隨機性和離散性。本文從細觀角度出發，建立了64個具有不同骨料分布形式的混凝土細觀力學計算模型，獲得了5組不同應變率下(10-5s-1、10-4s-1、10-3s-1、10-2s-1和10-1s-1)混凝土抗拉強度，每組含64個強度值。進而對混凝土抗拉強度隨機離散性進行統計分析。以Weibull分布為假設分布，采用圖解法結合逐步回歸優選法進行Weibull分布參數估計，獲得了均值、標準差及離散系數等統計參數，探討了混凝土抗拉強度的分布形式，并根據Kolmogorov-Smirnov非參數檢驗，對假設分布進行了檢驗，研究了骨料分布形式的隨機性對混凝土抗拉強度分布的影響，得到如下結論：

表3 K-S檢驗結果表Tab.3 K-S test results

注：1-7表示7個區間。

圖6 不同應變率下(10-5 s-1、10-4 s-1、10-3 s-1、10-2 s-1和10-1 s-1)抗拉強度的概率密度函數曲線Fig.6 Probability density function curves of tensile strength at five different strain rates (10-5、10-4、10-3、10-2and 10-1 s-1)

圖7 不同應變率下(10-5 s-1、10-4 s-1、10-3 s-1、10-2 s-1和10-1 s-1)抗拉強度的概率分布函數曲線Fig.7 Probability distribution curves of tensile strength at five different strain rates (10-5、10-4、10-3、10-2and 10-1 s-1)

(1)不同骨料分布形式下混凝土抗拉強度服從雙參數Weibull分布；

(2)隨著應變率的增大(10-5s-1→10-1s-1)，混凝土抗拉強度離散性逐漸減小(離散系數0.033 2→0.012 6)。

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Statistical investigationon the randomness of uniaxial dynamic tensile strengths of concrete

JIN Liu1, 2, HAN Yaqiang1, DU Xiuli1

(1.Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering, Ministry of Education, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2. Department of Civil Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Tensile failure behavior of concrete dominates the behavior of concrete specimens and structural elements. It is strongly affected by loading rate. To study the discreteness and randomness of concrete static/dynamic tensile strength, the influence of aggregate spatial distribution pattern was discussed. Taking account of the strain rate effect of meso-scale components under dynamic loading, a meso-scale mechanical model and method were established, in which the concrete was assumed to be composed of aggregate particles, mortar matrix, and the interfacial transition zones between the former two phases. Furthermore, the uniaxial dynamic tensile mechanical behavior of 64 sets of concrete with different aggregate distribution patterns was studied numerically, and the discreteness of concrete strength was analyzed statistically. The results indicate that: ① the tensile strengths of concrete with different aggregate distribution obey the Weibull distribution; ② with the increase of strain rate, the discreteness of the concrete tensile strength decrease gradually.

concrete; meso-scale mechanical method; dynamic tensile strength; randomness; statistical property

973項目計劃(2011CB013600)；國家自然科學基金創新研究群體項目(51421005)

2015-09-13 修改稿收到日期：2015-11-18

金瀏 男，博士后, 助理研究員，1985年生

杜修力 男，教授, 博士生導師，1963年生 E-mail: duxiuli@bjut.edu.cn

TU528.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.24.002