展示數學思維過程 優化學生學習進程

江蘇省海門市悅來初級中學 楊衛東

展示數學思維過程 優化學生學習進程

江蘇省海門市悅來初級中學 楊衛東

本文主要講解了筆者在課堂教學中通過精編教學題鏈、創設教學情境、激發群體智慧、貫穿“學材再建構”充分展示教學思維過程，加強“四基知識”的拓寬和延伸，激發學習興趣，優化學生主體性學習進程，使數學教學真正成為數學活動的教學。

思維；學習；過程

21世紀的數學素質教育不僅要求教師具有淵博的數學知識，而且要求教師讓學生從“學會”到“會學”乃至“會用”，即讓學生掌握數學思想、數學方法，發展學生思維，提高數學分析和應用能力。要會學、會用，最根本的一條就是要求教師在傳授知識中充分展示數學思維過程，加強“四基知識”的拓寬和延伸，組編教學鏈，激發學習興趣，優化學生主體性學習進程，使數學成為數學活動的教學。

特級教師李庚南在“自學、議論、引導教學法”、“優化學習過程、改善教學結構”實驗研究的基礎上，繼自身成功之經驗，集實踐總結之精華，及時提出了“學程導進技藝”和“學材再建構”的教學教改方法。意在教程與學程本質上是一致的：教法思路就是學法思路，而且學程是教程的出發點和歸宿。旨在讓教與學緊密結合，從而優化學生自主性的學習進程。何謂學材？學材就是指“學習的材料”，更是“基于教材而又以教材為最重要組成部分的學習的材料”，它還包括一些教學參考資料、教輔材料、多媒體資料，以及以所學核心知識為原點的周邊其他一些可以服務于教學的有效的資料、材料或信息。學材應包含顯性學材和隱性學材。“學材再建構”是指師生根據學習任務，為了實現學習效益的最大化，對各種主客觀性學材進行主動加工重構的過程。筆者結合自身實踐，總結如下：

教學內容是教學活動中最實質性的因素，是完成教學目的的憑借。它是由一定的知識、能力、思想與情感等方面的內容綜合組成的體系。教學過程中，學生的身心發展水平、已有的智能結構、個性特點、能力傾向和學習前的準備狀況等，均對教學活動具有影響。因此，教師只有發揮主體的創造性，重視教學內容，充分發揮教材的潛能作用，精編教學鏈，展示數學思維的變化發展過程，合理地引導學生進行聯想，追求變異，有效地培養學生的探索性思維能力，才能提高課堂教學密度，優化課堂教學結構，拓展應變及應用能力，為主體性學程的形成打下堅實的基礎。

例1 如圖所示，⊙O1和⊙O2外切于點A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C為切點。求證AB⊥AC。

分析：

（1）乍看結論AB⊥AC，學生頓知應證∠BAC＝90°。

（2）習慣思維促使學生思索著：∠ABC＋∠ACB＝90°，易證嗎？

筆者在學生的讀圖、觀察、思考中展示著公切線的性質、兩圓的位置特征所能反映的數學思維過程，并結合已有的數學思想及數學方法，使問題迎刃而解，學生的臉上露出了笑容，而且興致一下子高漲起來。

（3）接著，筆者立即從圓周角定理推論（3）入手，讓學生溫故而知新，并結合兩圓公切線知識（過A作兩圓內公切線），使AB⊥AC的結論迅速呈現在學生的眼前。此時學生情緒更高漲了，知識的興奮點達到了最高點，筆者順勢總結出“遇相切兩圓，常作公切線”的輔助線常見作法，增強了學生的數學應用技能。

為了更好地滿足學生強烈的求知欲，努力培養學生的技能技巧，筆者組編了以下教學鏈：

例1中，設BC延長線交直線O1O2于P，直線O1O2交⊙O1于F，交⊙O2于E，連接BF。

求證：（1）以BC為直徑的圓與O1O2相切于A點；（2）AC∥FB；（3）BC2＝AF·AE；（4）AB2＝AC·BF；（5）PA2＝PE·PF＝PB·PC；（6）PA2/PC2＝PO2/PO1；（7）設PA＝6cm,BC=5cm,求PC的長。

以上例題的延伸與拓展，把三角形、平行線、相似三角形、圓、一元二次方程等知識有機地結合起來，達到了舉一反三，觸類旁通之功效。同時，重視了教學內容，展示了數學思維，提高了教學鏈的應用能力。

教學過程既是一個認識的理性過程，同時也是一個情感的、社會化的非理性過程。教學中教師要盡可能地挖掘教材內涵，展示知識發展的背景，創設恰當的情境教學，激發學生思維的動機和興趣，優化學生學習進程。

例如，學習勾股定理這一內容時，筆者首先對勾股定理作出簡介：它是一個十分重要而著名的定理，它不僅在數學中有著廣泛的應用，而且在其他自然學科中也常常用到，因為我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理稱之為“勾股定理”。在公元前500多年，古希臘人畢達哥拉斯發現了這個定理，許多人又把它叫做畢達哥拉斯定理。

早在公元前1000年，我國古代數學書《周髀算經》早已記載著這個定理是商高發現的，這說明我國發現這個定理比外國至少早500年。大家就應該稱之為“勾股定理”還是“畢達哥拉斯定理”呢？全班同學異口同聲地高呼“勾股定理”，這不僅激發了學生的愛國熱情，同時激發了學生學習的興趣。

在教師的動畫演示和數學思維的啟發下，結合學生的認真思索，這一定理的順利證明足以說明創設情境教學的重要性。

同時，早在1300多年前，我國古代勞動人民建筑了“線條柔和，構造空靈，既穩重又輕盈，寓雄偉于秀逸”的趙州石拱橋，筆者介紹它建立的歷史背景和新中國領導人的重視程度，以及作為重點保護文物的思想情境教學，無疑給垂徑定理、勾股定理的正確合理使用增添了意想不到的推動作用。

再結合我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它由4個直角邊長為a、b的全等直角三角形中間的小正方形拼成的一個大正方形（如右圖所示）。若大正方形的面積是13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，則小正方形的面積為（ ）。

A.1/2 B.1 C.1/4 D.2

頓時，學生的興趣感在自我理解和理順中激發到了最高點。

注重引導學生參與多邊互動方式的意識性，開發交流學習的潛能，讓智慧交匯，讓思維閃光，讓課堂效率提高，這正是“學材再建構”教學的宗旨所在。

事實上，師生間、生生間這種互動的多邊性，能活躍課堂氣氛，培養學生的表達能力和嚴密的邏輯推理能力，更能使學生體會小組合作的成功感。

筆者堅持不懈地貫穿“學材再建構”于課堂教學，集群體智慧于一體，使全體學生共同參與和開展數學思維，真正體現了現代化形勢下的素質教育，從而有效地提高教學質量。

例2 （共探綜合題）如圖所示，已知點A（－4,0）和點B（6,0），第三象限內有一點P，它的橫坐標為－2，并且滿足條件tan∠PAB·tan∠PBA＝1。（1）求證：△PAB為直角三角形；（2）求過P、A、B三點的拋物線的函數解析式，并求出拋物線的頂點坐標。

分析：

（1）個別學生的視野緊盯在tan∠PAB·tan∠PBA＝1上，從中挖掘出∠PAB＋∠PBA＝90°，進而得證△PAB為直角三角形。

（2）各小組的討論情況如何呢？

a認為從（1）這個角度出發思維狹窄，如若不熟悉這兩角之間的關系，這道題就很難突破。

b認為利用正切的定義是根本，何不借助直角三角形，把tan∠PAB·tan∠PBA＝1轉化成邊邊關系呢？

c認為可證出PD2＝DA·DB，接下來怎么辦呢？

①可證PA2＋PB2＝AB2；

②可證△PDA∽△BDP。

（3）利用群體智慧，得出：利用正切定義，轉化線段關系是常規思路，證明三角形相似或利用勾股定理逆定理，這是幾何與代數的辯證統一。

（4）當P坐標求出時，學生又產生了兩種方法求二次函數解析式：

①設為一般式：y=ax2+bx+c；

②設為交點式：y=a(x+4)(x-6)。

（5）經個人思索，小組討論，全體交流后，一致認為這都是可采用的方法，因為還得求頂點坐標。

無疑，展示數學思維的過程淋漓盡致，學生參與的程度越大，那么課堂教學質量的提高也就越快。

數學教育家曹才翰先生曾指出：“數學學習與其說是學習數學知識，倒不如說是學習數學思維過程。”可見，展示思維過程的重要性。

眾所周知，在如今素質教育的新形勢下，從傳統的“以教師為中心”轉向實施“以學生為中心”的教學模式，正是李庚南老師教學法的目標所在，只要我們理論聯系實際，腳踏實地，認真探索，勤于思考，善于總結經驗教訓，一定能使素質教育在實踐中不斷更新、不斷推廣、不斷完善！