展示數(shù)學(xué)思維過(guò)程 優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)程

江蘇省海門(mén)市悅來(lái)初級(jí)中學(xué) 楊衛(wèi)東

展示數(shù)學(xué)思維過(guò)程 優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)程

江蘇省海門(mén)市悅來(lái)初級(jí)中學(xué) 楊衛(wèi)東

本文主要講解了筆者在課堂教學(xué)中通過(guò)精編教學(xué)題鏈、創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境、激發(fā)群體智慧、貫穿“學(xué)材再建構(gòu)”充分展示教學(xué)思維過(guò)程，加強(qiáng)“四基知識(shí)”的拓寬和延伸，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化學(xué)生主體性學(xué)習(xí)進(jìn)程，使數(shù)學(xué)教學(xué)真正成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。

思維；學(xué)習(xí)；過(guò)程

21世紀(jì)的數(shù)學(xué)素質(zhì)教育不僅要求教師具有淵博的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要求教師讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”乃至“會(huì)用”，即讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，發(fā)展學(xué)生思維，提高數(shù)學(xué)分析和應(yīng)用能力。要會(huì)學(xué)、會(huì)用，最根本的一條就是要求教師在傳授知識(shí)中充分展示數(shù)學(xué)思維過(guò)程，加強(qiáng)“四基知識(shí)”的拓寬和延伸，組編教學(xué)鏈，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化學(xué)生主體性學(xué)習(xí)進(jìn)程，使數(shù)學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。

特級(jí)教師李庚南在“自學(xué)、議論、引導(dǎo)教學(xué)法”、“優(yōu)化學(xué)習(xí)過(guò)程、改善教學(xué)結(jié)構(gòu)”實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，繼自身成功之經(jīng)驗(yàn)，集實(shí)踐總結(jié)之精華，及時(shí)提出了“學(xué)程導(dǎo)進(jìn)技藝”和“學(xué)材再建構(gòu)”的教學(xué)教改方法。意在教程與學(xué)程本質(zhì)上是一致的：教法思路就是學(xué)法思路，而且學(xué)程是教程的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。旨在讓教與學(xué)緊密結(jié)合，從而優(yōu)化學(xué)生自主性的學(xué)習(xí)進(jìn)程。何謂學(xué)材？學(xué)材就是指“學(xué)習(xí)的材料”，更是“基于教材而又以教材為最重要組成部分的學(xué)習(xí)的材料”，它還包括一些教學(xué)參考資料、教輔材料、多媒體資料，以及以所學(xué)核心知識(shí)為原點(diǎn)的周邊其他一些可以服務(wù)于教學(xué)的有效的資料、材料或信息。學(xué)材應(yīng)包含顯性學(xué)材和隱性學(xué)材?！皩W(xué)材再建構(gòu)”是指師生根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)，為了實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)效益的最大化，對(duì)各種主客觀性學(xué)材進(jìn)行主動(dòng)加工重構(gòu)的過(guò)程。筆者結(jié)合自身實(shí)踐，總結(jié)如下：

教學(xué)內(nèi)容是教學(xué)活動(dòng)中最實(shí)質(zhì)性的因素，是完成教學(xué)目的的憑借。它是由一定的知識(shí)、能力、思想與情感等方面的內(nèi)容綜合組成的體系。教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的身心發(fā)展水平、已有的智能結(jié)構(gòu)、個(gè)性特點(diǎn)、能力傾向和學(xué)習(xí)前的準(zhǔn)備狀況等，均對(duì)教學(xué)活動(dòng)具有影響。因此，教師只有發(fā)揮主體的創(chuàng)造性，重視教學(xué)內(nèi)容，充分發(fā)揮教材的潛能作用，精編教學(xué)鏈，展示數(shù)學(xué)思維的變化發(fā)展過(guò)程，合理地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，追求變異，有效地培養(yǎng)學(xué)生的探索性思維能力，才能提高課堂教學(xué)密度，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，拓展應(yīng)變及應(yīng)用能力，為主體性學(xué)程的形成打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例1 如圖所示，⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A，BC是⊙O1和⊙O2的公切線，B、C為切點(diǎn)。求證AB⊥AC。

分析：

（1）乍看結(jié)論AB⊥AC，學(xué)生頓知應(yīng)證∠BAC＝90°。

（2）習(xí)慣思維促使學(xué)生思索著：∠ABC＋∠ACB＝90°，易證嗎？

筆者在學(xué)生的讀圖、觀察、思考中展示著公切線的性質(zhì)、兩圓的位置特征所能反映的數(shù)學(xué)思維過(guò)程，并結(jié)合已有的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)方法，使問(wèn)題迎刃而解，學(xué)生的臉上露出了笑容，而且興致一下子高漲起來(lái)。

（3）接著，筆者立即從圓周角定理推論（3）入手，讓學(xué)生溫故而知新，并結(jié)合兩圓公切線知識(shí)（過(guò)A作兩圓內(nèi)公切線），使AB⊥AC的結(jié)論迅速呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前。此時(shí)學(xué)生情緒更高漲了，知識(shí)的興奮點(diǎn)達(dá)到了最高點(diǎn)，筆者順勢(shì)總結(jié)出“遇相切兩圓，常作公切線”的輔助線常見(jiàn)作法，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用技能。

為了更好地滿足學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，努力培養(yǎng)學(xué)生的技能技巧，筆者組編了以下教學(xué)鏈：

例1中，設(shè)BC延長(zhǎng)線交直線O1O2于P，直線O1O2交⊙O1于F，交⊙O2于E，連接BF。

求證：（1）以BC為直徑的圓與O1O2相切于A點(diǎn)；（2）AC∥FB；（3）BC2＝AF·AE；（4）AB2＝AC·BF；（5）PA2＝PE·PF＝PB·PC；（6）PA2/PC2＝PO2/PO1；（7）設(shè)PA＝6cm,BC=5cm,求PC的長(zhǎng)。

以上例題的延伸與拓展，把三角形、平行線、相似三角形、圓、一元二次方程等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了舉一反三，觸類(lèi)旁通之功效。同時(shí)，重視了教學(xué)內(nèi)容，展示了數(shù)學(xué)思維，提高了教學(xué)鏈的應(yīng)用能力。

教學(xué)過(guò)程既是一個(gè)認(rèn)識(shí)的理性過(guò)程，同時(shí)也是一個(gè)情感的、社會(huì)化的非理性過(guò)程。教學(xué)中教師要盡可能地挖掘教材內(nèi)涵，展示知識(shí)發(fā)展的背景，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫辰虒W(xué)，激發(fā)學(xué)生思維的動(dòng)機(jī)和興趣，優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)程。

例如，學(xué)習(xí)勾股定理這一內(nèi)容時(shí)，筆者首先對(duì)勾股定理作出簡(jiǎn)介：它是一個(gè)十分重要而著名的定理，它不僅在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且在其他自然學(xué)科中也常常用到，因?yàn)槲覈?guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱(chēng)為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為“股”，斜邊稱(chēng)為“弦”，所以把這個(gè)定理稱(chēng)之為“勾股定理”。在公元前500多年，古希臘人畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，許多人又把它叫做畢達(dá)哥拉斯定理。

早在公元前1000年，我國(guó)古代數(shù)學(xué)書(shū)《周髀算經(jīng)》早已記載著這個(gè)定理是商高發(fā)現(xiàn)的，這說(shuō)明我國(guó)發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理比外國(guó)至少早500年。大家就應(yīng)該稱(chēng)之為“勾股定理”還是“畢達(dá)哥拉斯定理”呢？全班同學(xué)異口同聲地高呼“勾股定理”，這不僅激發(fā)了學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

在教師的動(dòng)畫(huà)演示和數(shù)學(xué)思維的啟發(fā)下，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)真思索，這一定理的順利證明足以說(shuō)明創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)的重要性。

同時(shí)，早在1300多年前，我國(guó)古代勞動(dòng)人民建筑了“線條柔和，構(gòu)造空靈，既穩(wěn)重又輕盈，寓雄偉于秀逸”的趙州石拱橋，筆者介紹它建立的歷史背景和新中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人的重視程度，以及作為重點(diǎn)保護(hù)文物的思想情境教學(xué)，無(wú)疑給垂徑定理、勾股定理的正確合理使用增添了意想不到的推動(dòng)作用。

再結(jié)合我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它由4個(gè)直角邊長(zhǎng)為a、b的全等直角三角形中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如右圖所示）。若大正方形的面積是13，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和是5，則小正方形的面積為（ ）。

A.1/2 B.1 C.1/4 D.2

頓時(shí)，學(xué)生的興趣感在自我理解和理順中激發(fā)到了最高點(diǎn)。

注重引導(dǎo)學(xué)生參與多邊互動(dòng)方式的意識(shí)性，開(kāi)發(fā)交流學(xué)習(xí)的潛能，讓智慧交匯，讓思維閃光，讓課堂效率提高，這正是“學(xué)材再建構(gòu)”教學(xué)的宗旨所在。

事實(shí)上，師生間、生生間這種互動(dòng)的多邊性，能活躍課堂氣氛，培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力，更能使學(xué)生體會(huì)小組合作的成功感。

筆者堅(jiān)持不懈地貫穿“學(xué)材再建構(gòu)”于課堂教學(xué)，集群體智慧于一體，使全體學(xué)生共同參與和開(kāi)展數(shù)學(xué)思維，真正體現(xiàn)了現(xiàn)代化形勢(shì)下的素質(zhì)教育，從而有效地提高教學(xué)質(zhì)量。

例2 （共探綜合題）如圖所示，已知點(diǎn)A（－4,0）和點(diǎn)B（6,0），第三象限內(nèi)有一點(diǎn)P，它的橫坐標(biāo)為－2，并且滿足條件tan∠PAB·tan∠PBA＝1。（1）求證：△PAB為直角三角形；（2）求過(guò)P、A、B三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式，并求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：

（1）個(gè)別學(xué)生的視野緊盯在tan∠PAB·tan∠PBA＝1上，從中挖掘出∠PAB＋∠PBA＝90°，進(jìn)而得證△PAB為直角三角形。

（2）各小組的討論情況如何呢？

a認(rèn)為從（1）這個(gè)角度出發(fā)思維狹窄，如若不熟悉這兩角之間的關(guān)系，這道題就很難突破。

b認(rèn)為利用正切的定義是根本，何不借助直角三角形，把tan∠PAB·tan∠PBA＝1轉(zhuǎn)化成邊邊關(guān)系呢？

c認(rèn)為可證出PD2＝DA·DB，接下來(lái)怎么辦呢？

①可證PA2＋PB2＝AB2；

②可證△PDA∽△BDP。

（3）利用群體智慧，得出：利用正切定義，轉(zhuǎn)化線段關(guān)系是常規(guī)思路，證明三角形相似或利用勾股定理逆定理，這是幾何與代數(shù)的辯證統(tǒng)一。

（4）當(dāng)P坐標(biāo)求出時(shí)，學(xué)生又產(chǎn)生了兩種方法求二次函數(shù)解析式：

①設(shè)為一般式：y=ax2+bx+c；

②設(shè)為交點(diǎn)式：y=a(x+4)(x-6)。

（5）經(jīng)個(gè)人思索，小組討論，全體交流后，一致認(rèn)為這都是可采用的方法，因?yàn)檫€得求頂點(diǎn)坐標(biāo)。

無(wú)疑，展示數(shù)學(xué)思維的過(guò)程淋漓盡致，學(xué)生參與的程度越大，那么課堂教學(xué)質(zhì)量的提高也就越快。

數(shù)學(xué)教育家曹才翰先生曾指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，倒不如說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過(guò)程?！笨梢?jiàn)，展示思維過(guò)程的重要性。

眾所周知，在如今素質(zhì)教育的新形勢(shì)下，從傳統(tǒng)的“以教師為中心”轉(zhuǎn)向?qū)嵤耙詫W(xué)生為中心”的教學(xué)模式，正是李庚南老師教學(xué)法的目標(biāo)所在，只要我們理論聯(lián)系實(shí)際，腳踏實(shí)地，認(rèn)真探索，勤于思考，善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，一定能使素質(zhì)教育在實(shí)踐中不斷更新、不斷推廣、不斷完善！