高三數學教學需要“接地氣”──《基本不等式》教學案例

江蘇省南京市六合區程橋高級中學 鐘國林

高三數學教學需要“接地氣”──《基本不等式》教學案例

江蘇省南京市六合區程橋高級中學 鐘國林

新課程標準下，南京市模考給了眾多高三同仁非常有效的啟示，高三基本不等式的教學必須“接地氣”，只有明白學生學習的困惑，依據學生的實際掌握情況設置課堂教學內容，方可達到“授業解惑”的效果。教師要從一個知識的傳授者轉變為學生發展的促進者，要從教室空間支配者的權威地位向數學活動的組織者、引導者和合作者的角色轉變。

新課程；接地氣；數學教學

【教學過程】（課堂實錄）

【創設問題，情境引入】

【教師活動】把一個物體放在天平的一個盤子上，在另一個盤子上放砝碼使天平平衡，稱得物體的重量為a,由于天平制造得不精確，天平的二臂長略不同（其他因素不計），那么a并非實際質量。不過，我們可作第二次測量，把物體調換到天平的另一個盤子上，此時稱得物體的質量為b。那么物體的實際質量是多少呢？

【學生活動】（合作交流、思考）

1.讓學生猜測結論，學生會提出如下猜測：物體的實際質量應為。

2.讓學生分組討論：上述猜測正確嗎？

讓一個小組代表介紹討論結果，教師點評，并提出新的問題。實際結果應為。

生：證明：設天平的兩臂長分別為L1,L2,物體實際質量為G，根據力學原理有：

L1G=L2a①

L2G=L1b②

①,②兩式相乘再除以L1L2，可以得到。

3.對于非負數a,b，稱為a,b的算數平均數，為a,b的幾何平均數。

4.問題：兩個非負數a,b的算數平均數與幾何平均數之間具有怎樣的大小關系呢？

【建構教學】

2.呈現課題：基本不等式的證明。

引導學生分析、思考，給出基本不等式的證明，點評有關問題。

【教師點評】（贊許、露出愉悅表情）

（1）由證明過程可發現，當且僅當a=b時，兩個均值相等，并解釋“當且僅當”的兩方面的含義。

（2）強調結論成立的條件:“a,b都是非負數”，并舉反例加以說明。

（3）證法一是比較法，證法二是分析法，它們都是證明不等式的基本方法。

3.通過嚴格證明，得到下列結論：

【教師總結】定理：如果a,b是正數，那么（當且僅當a=b時取“=”）。

讓學生根據教材中圖3-4-1，嘗試給出上述基本不等式的幾何解釋，并思考這個不等式的其他證明方法。

【教師點評】

（1）這個不等式的基本幾何解釋為“半弦≤半徑”。

（2）這個基本不等式可否推廣到“n個（n＞1，n∈N）非負數”的情形？有興趣的同學可以做進一步的研究，也可查閱有關資料。

【數學運用】

1.例題。

例1： 已知a,b為正數，求證下列不等式：（1）；（2）。

分析：可直接應用定理進行證明，要注意應用定理的條件。

所以原不等式成立。

（2）因為a為正數，所以也為正數，由基本不等式，得，所以原不等式成立。

【教師點評】

（2）在使用基本不等式時應注意其成立的條件，因此在上述證明中，應先說明具備成立條件，然后才能使用基本不等式。

解：因為x＞ -2,所以x+2＞0,由基本不等式，得，

因此，當x=2時，函數有最小值6。

【教師點評】

（1）在使用基本不等式求函數最值時，常需要將函數式進行變形，以創造條件使用基本不等式。

（2）在利用基本不等式求函數最值時，應注意“一正數、二定值、三相等”，即必須兩個量都是正數（也可是負數），才能直接使用基本不等式；要把函數式放縮到常數；等號要能取到。

【課后反思】

1.“接地氣”，需要講究課堂表現形式

高三數學教學最易出現重結果輕過程的現象,形成結果的生動過程往往被單調機械的條文所取代,所以數學教學中表現出太多的機械、沉悶和程式化,缺乏生機、樂趣和對好奇心的刺激。于是,學習可無需智慧，只要認真聽講和單純記憶,讀書可不必深入思考,做題可不必詰問創新,排斥了學生數學學習過程中的思考和個性。本案例運用基本不等式來解決問題，并從中尋找規律,進而滲透數形結合和等價化歸等數學思想，關注推理能力的培養，有助于發展學生的創新精神。

2.“接地氣”，絕不是反對預設教學目標

高三數學課不同其他學科，在教授之前，老師需要做大量的準備，這叫“備課”，教學目標的設置是教師“備課”的主要依據，一堂高三數學課，就更需要教師在課前精心準備。所以，“接地氣”絕不是反對預設教學目標，反而是為促進教學目標的有效達成加了“催化劑”，讓學生從老師機械呈現教學目標的枯燥和無趣中嘗到自我“發現”的甜頭，從而激發學生主動和積極參與課堂學習活動的興趣，提高了聽課和學習效率。

3.“接地氣”，就是引導學生自我建構知識

高三數學教學過程是教師引導學生進行數學活動的過程。首先,數學活動就是學生經歷數學化過程的活動,數學活動就是學生學習數學,探索、掌握和應用數學知識的活動.簡單地說,在數學活動中要有數學思考的含量,數學活動不是一般的活動,而是讓學生經歷數學化過程的活動,數學化是指學習者從自己的數學現實出發,經過自己的思考,得出有關數學結論的過程。每位數學教師都必須深刻認識到,是學生在學數學,學生應當成為主動探索知識的“建構者”,決不是模仿者，無論教師的教還是學生的學都要在學生那里體現,不懂得學生能建構自己的數學知識結構,不考慮學生作為主體的教,不會有好的效果。

[1]施剛良，周筆崇.“小題”也可以“大做”[J].中學數學，2013（9）.

[2]季近仁.高中生數學反思性學習的調查研究[D].蘇州大學，2011.

[3]單墫.普通高中課程標準實驗教科書[M].江蘇教育出版社，2012（3.4）.