區間數的絕對值與區間值函數的極限

代兵,包玉娥

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古 通遼 028043)

區間數的絕對值與區間值函數的極限

代兵,包玉娥

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古 通遼 028043)

研究了區間數的絕對值和區間值函數的極限問題.首先,討論了區間數的H-差的性質,得到了H-差的兩個運算法則;然后,給出了區間數的絕對值概念,并討論了區間數絕對值的性質;最后,借助區間數的H-差和絕對值的概念,建立了區間值函數極限概念的一種新的表達方式,給出了極限存在的充分必要條件,證明了極限值的唯一性及對加法運算和數乘運算的封閉性.

區間數;H-差;絕對值;區間值函數;極限

1 引言

區間數理論的基本思想是應用區間數變量代替點變量進行計算.早在1931年Young[1]就開始了區間數理論的研究.之后,由Moore[2]為代表的眾多學者的共同努力下,區間數的理論及應用有很大的發展.特別是,為了建立區間值微分方程理論[3],區間值最優化理論[4]以及模糊值函數的微分理論[5]等,利用不同的方式引進了各種不同的微分概念及相關性質.文獻[3-6]引進了區間值函數的微分概念及相關性質.在這些研究工作中,區間數差的概念及區間值函數的極限概念起了重要作用.其中,文獻[4]利用區間數的Hausdorff距離討論了區間值函數的極限問題,給出了相關的性質.文獻[7]通過引進區間數模的概念,給出了區間值函數的極限概念及其相關性質.本文在文獻[8-9]的基礎上,研究了模糊值函數的次可微性及相關問題,得到了一些有意義的結論.

本文嘗試借助區間數的H-差和絕對值的概念,利用實分析的方法建立區間值函數的極限概念及相關性質.希望對研究區間值函數及模糊值函數的微分理論及其應用問題提供一種新的思想方法.

2 區間數的基本概念

本節介紹區間數的相關概念,并討論H-差（Hukuhara差）的一些性質.

下面首先介紹區間數的加法運算、數乘運算及大小關系.內容來自文獻[10].

定義2.1[4]對于a,b∈[R],如果存在c∈[R],使得a=b+c,則稱c為a與b的H-差,記為c=a-Hb.

注2.1對于a,b∈[R],若a-Hb存在,則

定理2.1設a,b,c,d∈[R],若a-Hc,b-Hd都存在,則H-差(a+b)-H(c+d)也存在且有

定理2.2設a,b∈[R]且k＞0,若H-差a-Hb存在,則H-差ka-Hkb存在且

3 區間數的絕對值

本節給出區間數絕對值的概念,并討論它的一些性質.

定義3.1設則區間數a的絕對值定義為

注 3.1由定義2.1,我們易推出下面的結論：

(1)|a|=|-a|;

(2)當a∈[R+]時,|a|=a;當a∈[R-]時,|a|=-a;

(3)當k≥0時,|ka|=k|a|;當k＜0時,|ka|=-k|a|.

定理3.1設a,b∈[R+]或a,b∈[R-],則有

(1)|a+b|≤|a|+|b|;

(2)當H-差a-Hb存在時,|a-Hb|≤|a|+|b|;

(3)當H-差a-Hb和|a|-H|b|都存在時,|a-Hb|≥|a|-H|b|;

(4)當|a|-H|b|存在時,|a|-H|b|≤|a+b|.

定理 3.2設a,b∈[R],對任意ε=[ε,ε]∈[R+],若H-差a-Hb存在且|a-Hb|≤ε,則a=b.

定理3.3設a,b∈[R],若H-差a-Hb存在且|a-Hb|=[0,0],則a=b.

定理3.4設a,b∈[R],若H-差a-Hb和b-Ha都存在，則

定理 3.5設a,b,c∈[R],若H-差a-Hc和c-Hb都存在,則H-差a-Hb存在,且a-Hc和c-Hb都為正區間數或負區間數時,有

4 區間值函數的極限

本節討論正區間值函數的極限問題.在本節中設U0(x0)為x0的某空心鄰域,定義在U0(x0)上的區間值函數f：U0(x0)→[R]為

定義4.1 設f：U0(x0)→[R+]為區間值函數,且A∈[R].如果對任意ε=[ε,ε]∈[R+],存在δ＞0,當0＜|x-x0|＜δ時,H-差f(x)-HA和A-Hf(x)都存在,且

則稱f(x)在點x0處極限存在且極限值為A,并記為

定理 4.1設f(x)為定義在U0(x0)內的區間值函數且A∈[R],則的充要條件是

且存在δ＞0,當0＜|x-x0|＜δ時,H-差f(x)-HA和A-Hf(x)都存在.

定理4.2若區間值函數f(x)在點x0處極限存在,則它有唯一的極限.

定理4.4設f(x),g(x),h(x)為定義在U0(x0)內的三個區間值函數且

如果存在δ＞0,當0＜|x-x0|＜δ時,有f(x)≤g(x)≤h(x)且H-差g(x)-HA和A-Hg(x)都存在,則又因為存在δ＞0,當0＜|x-x0|＜δ時,有f(x)≤g(x)≤h(x).

又因為當0＜|x-x0|＜δ時,H-差g(x)-HA和A-Hg(x)都存在.

[1]Yang R C.The algebra of many-valued quantities[J].Annals of Mathematics,1931,31：260-290.

[2]Moor R E.Interval Analysis[M].New Jersey：Prentice Hall,1966.

[3]Luciano Stefanini,Barnabas Bede.Generalized Hukuhara differentiability of interval-valued functions and interval differetial equations[J].Noninear Analysis,2009,71：1311-1328.

[4]Wu Hsien chung.The Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions in multiobjective programming problems with interval-valued objective functions[J].European Journal of Operational Research,2009,196：49-60.

[5]Barnabas Bede,Luciano Stefanini.Generalized differentiability of fuzzy-valued functions[J].Fuzzy Sets and Systems,2013,230：119-141.

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[7]Vasile Lupulescu.Fractional calculus for interval-valued functions[J].Fuzzy Sets and Systems,2015,265：63-85.

[8]關世霞,包玉娥,趙慧冬.模糊值函數的凸性與次微分性[J].純粹數學與應用數學,2012,28(5)：676-686.

[9]包玉娥,趙博,彭曉芹.關于模糊值凸函數的共軛問題的研究[J].純粹數學與應用數學,2013,29(4)：331-337.

[10]胡啟洲,張衛華.區間數理論的研究及其應用[M].北京：科學出版社,2010.

The absolute value of interval numbers and the limit of the interval value function.

Dai Bing,Bao Yu′e
(College of Mathematics,Inner Mongolia University for the Nationalities,Tongliao 028043,China)

In this paper,we study the absolute value of interval numbers and the limit of the interval value function.First of all,we discuss the properties of H-difference of interval numbers,achieve two rules of algorithm of H-difference.Then,we propose the concept of the absolute value of interval numbers,and discuss the properties of the absolute value of interval numbers.In the end,we set up a new expression the concept of the limit of interval value function with the help of the concept of H-difference and absolute value of interval number,conclude the sufficient condition of the existence of limit,and proves the uniqueness of limit value and the sealing ability of addition and multiplication operation.

interval numbers,H-difference,absolute value,interval value function,limit

0159.2

A

1008-5513(2016)06-0583-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.004

2016-07-10.

國家自然科學基金(11461052);內蒙古自然科學基金(2014MS0107).

代兵(1991-),碩士生,研究方向：不確定數學理論及其應用.

包玉娥(1962-),博士,教授,研究方向：不確定數學理論及其應用.

2010 MSC:03E72