G-錐度量空間中壓縮映射的不動點定理

蔣麗東,薛西鋒

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

G-錐度量空間中壓縮映射的不動點定理

蔣麗東,薛西鋒

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

給出了G-錐度量空間的概念,利用迭代法探究了G-錐度量空間中壓縮映射不動點定理,證明了在G-錐度量空間中錐沒有正規性的條件下壓縮映射存在唯一不動點.

G-錐度量空間;壓縮映射;不動點定理

1 引言

2005年Mustafa Z,Sims B在文獻[1]提出了G-度量空間的概念,它是度量空間的一種推廣,G-度量空間的理論已經有了較大的發展,尤其是在G-度量空間中的不動點理論方面,已取得許多重要的研究成果.2007年文獻[2]中用序巴拿赫空間取代實數,推廣了度量空間,引入了錐度量空間,并在錐的正規性條件下證明了壓縮映射不動點定理,有關錐度量空間中壓縮映射不動點理論也有較大發展.2010年文獻[3]中提出了G-錐度量空間的概念,推廣了G-度量空間與錐度量空間.本文在G-錐度量空間中,不要求錐具有正規性的條件下,研究了壓縮映射不動點的存在性問題,獲得了兩個新的不動點定理,推廣和改進了前人的相關結果.

2 預備知識

定義2.1[2]設E是實巴拿赫空間,P是E中的子集，如果P滿足：

(1)P是非空閉集,P/{θ};

(2)λ∈R,λ≥0,x∈P,可得λx∈P;

(3)P∩-P={θ}.

則稱P是E中的一個錐.

定義2.2[3]設X是非空集,假設映射G：X×X×X→E,滿足：

(1)?x,y,z∈X,G(x,y,z)=0?x=y=z;

(2)?x,y∈X,當x≠y時,G(x,x,y)＞0;

(3)?x,y,z∈X,當y≠z時,G(x,x,y)≤G(x,y,z);

(4)?x,y,z∈X,G(x,y,z)=G(x,z,y)=G(y,x,z)=···(關于這三個元素滿足對稱關系);

(5)?x,y,z,a∈X,G(x,y,z)≤G(x,a,a)+G(a,y,z).

則稱G為X上的一個廣義錐度量,稱(X,G)為G-錐度量空間.

定義2.3[1]設X是一個G-錐度量空間,{xn}?X,

(1)?c∈E且c?θ,存在正數N,當?m,n,l＞N,有G(xm,xn,xl)?c,則稱{xn}為X中的Cauchy列;

(2)?c∈E且c?θ,存在正數N,當?m,n＞N,有G(xm,xn,x)?c,則稱{xn}為X中的收斂列;其中x為X中的一個不動點,稱序列{xn}G-收斂于x.

如果X中每個Cauchy列在X中都是收斂的,則稱G-錐度量空間是完備的.

引理2.1[3]設(X,G)為G-錐度量空間,則以下結果等價：

引理2.2[3]設(X,G)為G-錐度量空間,?x,y,z,a∈X,有以下結論成立

3 主要結果及其證明

定理3.1設(X,G)是完備的G-錐度量空間,設映射T：X→X,?x,y,z∈X.滿足條件：

其中

則T在X中存在唯一不動點.

定理3.2設(X,G)是完備的G-錐度量空間,設映射T：X→X,?x,y,z∈X.滿足條件：

參考文獻

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Fixed point theorems of contraction mapping in G-cone metric spaces

Jiang Lidong,Xue Xifeng
(College of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

This paper introduces the concept of G-cone metric spaces,by using iterative method we explore some fixed point theorems of contraction mapping in G-cone metric spaces,and obtain some new fixed point theorems for the contractive mapping in G-cone metric spaces without the assumption normality.

G-cone metric spaces,the contractive mapping,fixed point theorems

O177.91

A

1008-5513(2016)06-0618-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.007

2016-07-15.

陜西省自然科學基金(2012JM1017).

蔣麗東(1992-),碩士,研究方向：非線性泛函分析.

薛西鋒(1961-),博士,教授,研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:47H10