關于完全平方數的一個性質

董祥南

(江西師范大學數學與信息科學學院,江西 南昌 330022)

關于完全平方數的一個性質

董祥南

(江西師范大學數學與信息科學學院,江西 南昌 330022)

運用不定方程的理論討論了完全平方數的一個基本性質,得到了關于完全平方數的幾個重要定理.

不定方程;完全平方數問題;同余;Legendre符號

1 引言與問題的提出

在自然數中,1,4,9,···,n2···是一類很重要的整數,稱為完全平方數,古代人從幾何圖形的角度稱其為正方形數-形數的一種[1-4],對這類整數從古代至今已有許多的研究,所得的結論常被用于數列,不定方程和密碼信息學的算法分析等問題,例如十八世紀法國的Lagrange就建立了關于完全平方數的一條重要的著名定理[1]：每一個正整數都能表示成至多四個整數的平方和.它用不定方程的術語可以敘述為,對于任意的n∈N,不定方程

都存在整數解組.本文對完全平方數作了一些簡單而基本的討論,得到了一些這類數的基本性質.具體來講,研究了如下的問題1：

問題1[5]設n≥2是正整數,n個連續的整數的平方和是完全平方數嗎?

2 初步的討論

注 2.1首先考慮n≥3是奇素數p的情況,此時的問題1是討論如下不定方程,

是否存在整數解組(x,y).利用公式

上面的不定方程可以化為

從而歸結為不定方程,令y=pz,

定理2.1設p＞2是素數,p=12n+1,則從而有,

定理2.2設p＞2是素數,p=12n+5,n是偶數,則

推論2.1設p≡5(mod 24)是素數,則p個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

注 2.2由推論2.1,當p=5,29,53,101,149,173,197,293,317,389,461,509,557,653,···時,p個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

定理2.3設p＞2是素數,p=12n+7,n是奇數,則

推論2.2設p≡19(mod 24)是素數,則p個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

證明與推論2.1的證明完全類似,此處略.

注2.3由推論2.2可知,當p=19,43,67,139,163,211,283,307,331,379,499,523,547,571,619,···時,p個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

和上面一樣討論,我們也可以得到下列結論：

定理2.4設p＞2是素數,

推論2.3設p＞2是素數,p≡41(mod 48)或p≡17(mod 192),則p個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

注 2.4由推論2.3,當p=41,89,137,233,281,521,569,617,···或p=17,401,593,···時,p個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

定理2.5設p＞2是素數,p≡7(mod 48),則

推論2.4設p＞2是素數,p≡7(mod 48),則p個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

注 2.5由推論2.4,當p=7,103,151,199,439,487,631,···時,p個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

注 2.6由上面的討論我們可以看出,對許多的奇素數p＞2,p個連續整數的平方和不可能是完全平方數,似乎有理由提出如下的猜測：設p是任意奇素數,則p個連續整數的平方和不可能是完全平方數.遺憾的是,這個猜測是不正確的,我們已經發現了如下的一些反例,

另一方面,用模3分類的方法可以證明3個連續整數的平方和不可能是完全平方數(比前面的方法更簡單),也同樣可以證明p=13,31,79,107,113,127,223,257,271,311,353,367,463時,p個連續整數的平方和不可能是完全平方數,但是因p=3,13,31,79,107,113,127,223,257,271,311,353,367,463這幾個素數卻不在上面幾個定理中討論的素數p的范圍內,因此,除了推論2.1,推論2.2,推論2.3以及推論2.4中的那些素數外,在剩余的素數中,還有哪些素數p,使得p個連續整數的平方和不可能是完全平方數?更具體地來講,在300以內的素數中,在p= 23,37,47,59,61,71,73,83,97,109,131,157,167,179,181,191,193,227,229,239,241,251,263,277這24個素數中,哪幾個素數p使得p個連續整數的平方和不可能是完全平方數?這是一個有意義的值得進一步研究討論的問題.

3 進一步的討論

下面考慮問題1中n不是素數p的情形.

定理3.1設p≡5(mod 24)是素數,則p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

定理3.2設p≡19(mod 24)是素數,則p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

注3.1由定理3.1可知,當p=5,29,53,101,149,173,197,269,293,317,389,461,509,557,653,···時,p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

注3.2由定理3.2可知,當p=19,43,67,139,163,211,283,307,331,379,499,523,547,571,619,···時,p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

完全類似地,可以證明：

定理3.3設p≡7(mod 48)是素數,則p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

定理3.4設p≡41(mod 48)是素數,則p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

注 3.3由定理3.3可知,當p=7,103,151,199,487,631,···時,p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

注 3.4由定理3.4可知,當p=41,89,137,233,281,521,569,617,···時,p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

定理3.5設p≡17(mod 192)是素數,則p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

注 3.5由定理3.5可知,當p=17,401,593,···時,p3個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

再次,設p和q是兩個不相等的奇素數,令

則

是2t+1個連續的整數,如果其平方和是完全平方數,則和前面一樣處理可以導出不定方程,

直接計算可得,

定理3.6設p是奇素數,p滿足下列條件之一,

q是不等于p的奇素數,則pq個連續整數的平方和不可能是完全平方數.

定理3.7設定理3.6中p,q位置互換,則定理結論任然成立.

注 3.6設p≡5(mod 24)是奇素數,即p=24n+5,則令

則有

這連續的2t+1=p2個整數的平方和是整數y的平方,即有

這說明當p≡5(mod 24)時,p2個連續整數的平方和可以是某個整數的平方.

參考文獻

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[2]Silverman J H.數論概貌[M].3版.北京：機械工業出版社,2008.

[3]柯召,孫琦.數論講義：上冊[M].北京：高等教育出版社,2001.

[4]Rosen K H.初等數論及其應用[M].5版.夏鴻剛,譯.北京：機械工業出版社,2009.

[5]董祥南.關于模橢圓曲線上的格點計算[J].江西科學,2014,32(2)：202-266.

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[8]Walsh G.A note on a theorems of Ljunggren and the Diophantine equations x2-kxy2+y4=1[J].Arch.Math.,1999,73(2)：119-125.

On some properties of perfect square numbers

Dong Xiangnan
(Mathematics and Information Science College of Jiangxi Normal University,Nanchang 330022,China)

In this paper some basic properties of perfect square numbers was discussed by the theory of indeterminate equations,and we obtained several important theorem about the perfect square numbers.

perfect square numbers,indeterminate equation problems,congruence Legendre symbol

O156.4

A

1008-5513(2016)06-0574-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.003

2016-07-29.

江西省自然科學基金(JXNF20140405A01).

董祥南(1968-),碩士,副教授,研究方向：初等數論及其應用.

2010 MSC:11B68