分數Brown運動驅動的非Lipschitz隨機微分方程

冉啟康

(上海財經大學數學學院,上海 200433)

分數Brown運動驅動的非Lipschitz隨機微分方程

冉啟康

(上海財經大學數學學院,上海 200433)

討論了一類帶分數Brown運動的非Lipschitz增長的隨機微分方程適應解的存在唯一性.關于分數Brown運動的隨機積分有多種定義,本文使用一種廣義Stieltjes積分定義方法,利用這種積分的性質,建立了一類由標準Brown運動和一個Hurst指數的分數Brown運動共同驅動的、系數為非Lipschitz增長的隨機微分方程適應解的存在唯一性定理.

分數Brown運動;廣義Stieltjes積分;非Lipschitz增長的SDE;適應解

1 預備及主要結論

設(?,F,P)是一個完備的概率空間,是其上的Hurst指數為H的分數Brown運動,本文只討論的情形.自1940年Kolmogorov首次提出分數Brown運動以來,由于它在物理、金融、電信等眾多領域有著廣泛的應用而受到越來越多的關注.1968年,文獻[1]首次給出了分數 Brown運動的基于標準 Brown運動的隨機積分表達式.文獻[2.3]中對這個積分表達式進行了改進.近年來,人們給出了關于分數布朗運動的多種隨機積分的定義,因為當時,分數布朗運動不是半鞅,經典的It?o積分不再適應,人們發現,當時,隨機積分可定義為Riemann和的極限,但此積分不滿足性質文獻[4]中建立了當時一個基于Wick乘積的隨機積分理論,文獻[5]將此積分推廣到0＜H＜1的情形.在文獻[6]中建立了一種廣義Stieltjes積分,這種積分對標準Brown運動和分數Brown運動適用.在文獻[7]中利用這種積分方法證明了SDE,0≤t≤T,當b,σW滿足Lipschitz增長條件時,適應解的存在唯一性結果.本文討論方程

我們證明了當b滿足非Lipschitz增長條件時,方程(2)存在唯一性的適應解.

下面,介紹廣義Stieltjes積分的定義及SDE(2)解空間的定義.

設(?,F,P)是一個完備的概率空間,是其上的d-維標準Brown運動,是其上的Hurst指數為的d-維分數Brown運動,且X0,W,BH相互獨立.記

其中N表示F的所有P零集.為了定義SDE的解空間,還需要一個比更大的σ-代數流使得：是右連續的,包含的所有P零集,且X0,BH是可測的,W是一個運動.又表示

為了定義廣義Stieljes積分和SDE的解空間,需要下列函數空間：

根據上述記號,下列性質是直接的：

引理1.1(1)對任意0＜?＜α,有

(2)對任意?＞0,有

定義 1.1設稱

為f的α階分數Riemann-Liouville左積分;稱

為f的α階分數Riemann-Liouville右積分.

定義1.2如果其中0＜α＜1,p≥1,定義f的Weyl導數為

引理 1.2[12](1)如果那么,

記

定義 1.3[6](廣義Stieltjes積分)設f,g是兩個定義在(a,b)上的函數,滿足：

(1)f(a+),g(a+),g(b-)存在;

(2)存在p,q≥1,0＜α＜1,使得

那么,f關于g的廣義Stieltjes積分定義為

特別地,如果αp＜1,因為所以

由文獻[6]知：如果f∈Cλ(a,b),g∈Cμ(a,b),且λ+μ＞1,則存在 1-μ＜α＜λ,使得存在,滿足(4)式,且它與普通Stieltjes積分是一致的.

由廣義Stieltjes積分的定義直接得到下列結論成立：

引理1.3(1)如果那么,對任意t∈[0,T],存在,且

其中

本文中,對b,σW,σH的假設如下：

定義1.4用表示滿足下列條件的d-維隨機過程X={Xt,0≤t≤T}的全體：

(1)X是適應過程;

(2)X的幾乎所有路徑屬于且滿足

其中,EW(X)表示條件期望

主要結論如下：

定理1.1如果條件(H1),(H2)及(H3)成立,{σW(t),0≤t≤T}是循序可測的,且存在常數B＞0,(H4)

那么,當T適當小時,方程(2)存在唯一解

2 主要結論的證明

在證明主要結論前,需要引入幾個引理：

引理2.1如果條件(H1),(H3)成立,那么對任意,t∈[0,T],有

引理2.2[7]如果那么

引理2.3[7]設u={u(t),t∈[0,T]}是一個d×d-維適應過程,且滿足

那么,對任意t∈[0,T],a.s.意義下有

為了證明存在性,還需要下列兩個引理：

引理2.4如果條件(H1)-(H4)成立,則存在常數b＞0,使得對任意n≥1,有

引理2.5如果條件(H1),(H2),(H3)成立,則對任意t∈[0,T],n,m≥1,有

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Non-Lipschitz stochastic differential equations driven by fractional Brownian

Ran Qikang
(School of Mathematics,Shanghai University of Finance and Economics,Shanghai200433,China)

In this paper,we discuss the existence and uniqueness of a class of non-Lipschitzd stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion with Hurst parameterSo far,there are several ways to define stochastic integrals with respect to FBM.In this paper,we define stochastic integrals with respect to FBM as a generalized Stieltjes integral.We give a theorem of existence and uniqueness for SDE with coefficients allowed to have a non-Lipschitzd growth.

fractional Brownian motio,generalized Stieltjes integral, non-Lipschitz stochastic differential equation,adapted solution

O211.63

A

1008-5513(2016)06-0551-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.06.001

2016-09-06.

國家自然科學基金(11601306).

冉啟康(1964-),博士,教授,研究方向：隨機分析.

2010 MSC:60H10,60H05