初中代數等差數列的研究與應用

張志敏

（青島市第二十六中學 山東青島 266003）

初中代數等差數列的研究與應用

張志敏

（青島市第二十六中學 山東青島 266003）

德國著名數學家高斯9歲時，老師在算數課上出了一道難題：“把1到100的整數寫下來，然后把它們加起來！”還不到幾秒鐘，高斯已經把石板放在講桌上了，其他的學生把數字一個個加起來，額頭都出了汗水。他的同學無不為之驚奇，小高斯得出的結果被確定是正確的。

原來小高斯在認真審題的基礎上，根據題的特點，發現了這樣的有趣現象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101一共有多少個101呢？100個數，每兩個數是一對，共有50對，即共有50個101，所以=101×50=5050

我們再換一種思路，用數形結合的思想來分析一下這道題。圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層。將圖1倒置后與原圖拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數為

在數學上，人們把1～100這些數中的每一個數都叫做一個項，并把這樣的一串數稱作數列。“高斯算法”其實就是數列的求和問題。有了它，好多數學題和生活中的問題解答起來就方便多了。

例如：在解決找規律的問題時，我們會經常遇到等差數列。來看看下面的例子。如圖是用小棒擺出的一系列三角形圖案，按這種方式擺下去：A、當每邊擺10（即n=10）時，則共有多少個最小的三角形。

B、當第n個圖案時，則共有多少個最小的三角形（用S表示）

當n=1時，S=1；當n=2時，S=4=1+3；當n=3時，S=9=1+3+5；

所以，A、當n=10時，S=1+3+5+7=……+19=102=100

B、當n=n時，S=1+3+5+7=……+（2n-1）=n2

進一步思考：A中需要的小棒總數為多少根？

B中需要的小棒總數S與n的關系式又是什么？

當n=1時，S=3；當n=2時，S=9；當n=3時，S=18；

這就是一個數列：3、9、18、30……。此數列是3的倍數，即3×1，3×3，3×6，3×10……這樣第n項的數據也就清楚了。也有人說：受原題的影響，小棒與數三角形個數有密切關系：

當n=1時，相當于1個△；當n=2時 相當于（1+2）個△；當n=3時，相當于（1+2+3）個△；……當n=n時，相當于（1+2+3+……+n）個△

等差數列的知識沒有在初中課本上講解，但是實際問題當中已經有很多的應用，例如握手問題。

某中學舉辦畢業聚會，參加聚會人數有60人時，每兩人都要握一次手相互告別，那么握手次數為多少次呢? 若有600人參加聚會，總握手次數又是多少次呢?

解析：當人數有60人時，握手次數為：

當人數有600人時，握手次數為：

當人數有x時，握手次數為：

再來看看變式練習：

題目分析：

仔細觀察這個算式，發現他很有規律地出現著一些“減數”。因此，計算時應特別細心。在此介紹三種解法。

解法一：變減為加，整體推算。（其中減數為4的倍數，共28÷ 4=7（個））

解法二：分組累計，從頭算起每四個數為1組，分別計算每組數的得數為：2、10、18……50。其和為：（2+50）×7÷2=182

解法三：加數、減數分別統計。減數全部拿出以后，剩下的加數是：

1+2+3+5+6+7+9+…+25+26+27把這些加數每3個一組，并求出每組之和：

七個減數的和為：（4+28）×7÷2=112，原式的得數為：294-112=182

總之，高斯的方法非常巧妙，里面蘊涵的數學道理非常深刻，思考問題也可以從不同的角度用不同的方法。變換不同角度看問題的數學意識非常重要，是學生進行數學學習的重要目標之一。