小議空間角的計算

劉勝波

摘要：本篇對空間角——異面直線所成的角、線面角、二面角求法的探討總結，以饗廣大讀者對空間角求法有個總體的了解，并能熟練掌握運用。

關鍵詞：線面角；平面角；解三角形鏈

計算空間角的問題，是高考常見類型之一，出題人往往會以這三種形式來命題的：（1）異面直線所成的角；（2）線面角；（3）二面角。對于這三種類型，不管是那類，都是通過轉化的思想最終化成相交直線所成的角。盡管如此，但對于每一種類型還是有自己獨到之處的，為了確保考場上萬一無失，下面我們分別將其探討一下。

一、異面直線所成的角

解決異面直線所成的角，須平移異面直線，使其轉化為相交二直線的夾角問題，其方法有三：

1、直接法。設異面直線a、b所成角為θ，要求θ的值，須從下面三個步驟入手：

（1）確定θ角：同時平移直線a、b使其相交或將其中之一平移與另一條相交，則平移后相交二直線所夾的銳角或直角即為所求的角θ，這里的θ∈[0，π/2]。

（2）選擇θ的最佳位置：充分利用幾何圖形的性質，選擇特殊點、線作為角的頂點和邊。當找不到特殊的點、線時，應最大限度地把已知條件歸結到含θ的三角形中。

（3）計算θ的值：在完成（1）（2）兩步時，要為第（3）步做好準備，使其便于計算θ的值，一般通過解含θ的三角形求θ的值。

2、公式法。利用異面直線距離公式求夾角。若異面直線a、b的公垂線段AA=d？，E、F分別是直線a、b上的兩點，AE=m？，AF=n？，EF=l？直線a、b成的角為θ，則COSθ=|？d2+m2+n2-l2/2mn|？？其中θ∈[0，π/2]。

⑶向量法。對于異面直線所成的角，若能構造成向量，將異面直線所成的角轉化成兩向量的夾角，利用向量的數量積公式，則可在不作出異面直線所成角的情況下，巧妙而簡捷地求出異面直線所成的角。

二、線面角

求直線與平面所成的角，應先指出圖形中哪個角是直線和平面所成的角，而后將該角置于某一三角形中（一般構造直角三角形）計算它的值，其方法有二：

1、直接法。根據直線與平面所成角的定義，確定角而后計算，其中確定角的關鍵是找出直線在平面內的射影，而找其射影一般是按下列步驟進行的：

（1）確定射影：找一垂足和斜足；

（2）將角置于三角形中，解此三角形；

（3）特殊角不必計算，例00，900，可通過證明。

有時若直接求某一直線與某一平面所成的角比較困難，此時可根據所學的知識間接求得，即相當于將直線或平面平移，其角的大小不變。

三、二面角

二面角和平面角的概念及其大小的計算，是立體幾何的一大重點和難點，因為它是立體幾何證明和解題常用的概念和手段，而二面角的大小不能直接度量，需要借助于它的平面角來求。

二面角的平面角是用來度量二面角的，角的兩邊在兩個半平面內且垂直于棱，它的大小是由二面角的兩個面的位置來決定，與棱上一點選取的位置無關。因此，計算二面角的關鍵是求二面角的平面角的大小，其方法有二：

1、直接法。因為二面角是空間角，無法直接度量，但可以轉化為相交二直線的夾角，既度量二面角平角是多少度，二面角就是多少度，此法稱為直接法，其步驟有三步：

Ⅰ、先作出或找出二面角的平面角；Ⅱ、證其為二面角的平面角（根據定義）；Ⅲ、計算。其中最關鍵的是第Ⅰ步，而做第Ⅰ步的常用方法通常有：

（1）根據平面角的定義作出平面角：根據定義要符合平面角的三要素；頂點和角的兩邊的選擇要便于計算。

（2）根據三垂線定理或逆定理作平面角：在二面角某一面α內，找一點A作AB垂直二面角的另一面β，且垂足易確定，在面β內，作BC垂直棱a于點C，連接AC，則∠ABC就是所求的平面角。

（3）作二面角棱的垂面，垂面與二面角兩個面的交線所夾的角就是該二面角的平面角。垂直棱的平面可平行的移動，要適當的選擇以便于計算。

通過以上的方法我們很容易的把二面角的平面角找或作出來，接下來的任務是計算平面角的值，其方法有三：

（1）解三角形：將平面角置于某一三角形之中，解此三角形。若三角形是任意三角形----用余弦定理或正弦定理求解；若三角形是直角三角形---用勾股定理或三角函數等來求解。

（2）解三角形鏈：求二面角的值時，有時已知數和未知數不集中在同一個三角形中，無法找出直接關系，這時可通過解多個三角形，求出一些相關量，最后求出所要求的未知數，這種方法稱為解三角形鏈。

（3）引進參數計算：已知數和未知數沒有直接關系時，可引入參變量，以便于溝通已知和未知的關系。

2、公式法。用直接法求二面角大小時，若平面角不易求出或計算麻煩，且這時又具備使用公式的條件，則可間接地用公式法來求二面角。

（1）利用圖形的面積射影公式來求二面角。

利用此公式，必須要知道每個字母的含意，否則易出現錯誤。

雖然空間角的求法總體上大同小異？？都是通過轉化的思想最終化成相交直線所成的角，但對于具體的題目，還是有自己的獨到之處，就如上面所講的。但要做到在考場上見題就達到下筆如神、揮灑自如的程度，還得靠自己在下面大量的實踐練習和歸納。

參考文獻

[1] <<高等學校畢業設計指導手冊>>.

[2] 高中<<幾何>>實驗修訂本下A.

[3] <<成才之路>>.

[4] 2006年第8期的<<數學通訊>>.