淺談初中數學教學中的變式訓練

宋小萍

在《義務教育階段課程標準》中明確提出：使學生獲得數學的“基本思想”和“基本活動經驗”的目標，把“雙基”擴展為“四基”。希望學生在義務教育階段的數學學習中，除了獲得必要的數學知識能之外，還能感悟數學的基本思想，積累數學活動經驗。因此，要在教學過程中通過各種教學途徑，讓學生體會數學思考和創造的過程，增強學習的興趣和自信心，不斷提高自主學習的能力。而強調在數學教學中實施變式訓練，可以促使學生的思維向多層次、多方向發散，幫助學生在問題的解答過程中去尋找解類似問題的思路、方法，有意識地展現教學過程中教師與學生數學思維活動的過程，充分調動學生學習的積極性、主動地參與教學的全過程，培養學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創新、勇于探索的精神，從而真正把學生能力的培養落到實處。

一、變式訓練“為什么要變”

所謂數學變式訓練，就是指在數學教學過程中對概念、性質、定理、公式，以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景暴露問題的本質，揭示不同知識點的內在聯系的一種教學設計方法。通過“變式訓練”，可以激發學生的好奇心、求知欲和創造力，增加學生參與度，提高學生參與活動的興趣和熱情，從而產生意外生成、揭示知識的本質。通過變式訓練，不僅使學生理解數學知識，更重要的是培養基本技能，讓學生感悟數學思想和方法，積累數學活動經驗，以提高學生的能力。

二、數學教學中變式訓練“變什么”

1、變問題：一題多問，深化問題。教學中要特別重視對課本例題和習題的“改裝”或引申。數學的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善于對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利于知識的建構。

【案例1】

在？ABC中，∠B=∠C，點D是邊BC上的一點，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3cm，求（1）S？ABC。（2）AB上的高。

上題通過連接AD分割成兩個以腰為底的三角形即可求解S？ABC=40cm2；借助于添加AB上的高CH，利用面積公式和第一題的結論，不難求的AB上的高為8cm。我在教學中并未把求得結論作為終極目標，而是繼續問：3+5=8，在此題中是否是一個巧合？探究DE、DF、CH之間的內在聯系，（學生猜想CH=DE+DF）。

引出變式題（1）如圖2，在？ABC中，∠B=C，點D是邊BC上的任一點，DE⊥AC，DF⊥AB，CH⊥AB，垂足分別是E、F、H。求證：CH=DE+DF。

在計算例題的基礎上，學生已經具有了用面積的不同求法把各條垂線段聯系起來的意識，此題的證明很容易解決。

在學生思維的積極性充分調動起來的此時，我又借機給出變式（2）如圖3，在等邊？ABC中，P是形內任意一點，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F。

求證：PD+PE+PF是一個定值。

通過這組變式訓練，面積法在幾何計算和證明中的應用得到了很好的體現，同時這一組變式訓練經歷了一個特殊到一般的過程，有助于深化、鞏固知識，學生猜想、歸納能力也有了進一步提高，更重要的是培養學生的問題意識和探究意識。

2、變解法：一題多解，觸類旁通。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異欲望，培養學生思維的靈活性。

【案例2】如何復原一個被墨跡浸漬的等腰三角形？

（只剩一個底角和一條底邊）

學生給出的三種“補出”方法：

（1）量出∠C度數，畫出∠B=∠C，∠B與∠C的邊相交得到頂點A；

（2）作BC邊上的中垂線，與∠C的一邊相交得到頂點A；

（3）“對折”。

看畫出的三角形是否為等腰三角形，由此引發全等三角形判定定理的證明。

這道題從不同的角度進行多向思維，把三角形全等的知識點有機地聯系起來，發展了學生的多向思維能力。

3、變條件和變問題：一題多變，橫向聯想。通過一題多變，可避免題海戰術，讓學生掌握數學知識之間的聯系，享受數學的相似美，提高學生歸納概括的能力。

【案例3】有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm。

要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點

分別在AB、AC上。問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？

變式1：將“正方形PQMN”改為“矩形PQMN”。問矩形的長和寬分別為多少時，所截得的矩形面積最大？最大面積是多少？

變式2：一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2，工人師傅要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，請甲乙兩位同學設計加工方案，甲設計方案所示，乙設計方案如圖所示。你認為哪位同學設計的方案較好？試說明理由。（加工損耗忽略不計，計算結果可保留分數）

三、數學教學中變式訓練“變到什么程度”

1、變式的數量要“適度”。變式不是為了“變式”而變式，而是要根據教學或學習需要，遵循學生的認知規律而設計數學變式，使學生在理解知識的基礎之上，把學到的知識轉化為能力，形成技能技巧。因此，數學變式要正確把握變式的度，適度進行，適可而止。

2、變式的內容與難度要有“梯度”。變式習題的設置不僅要考慮到適當的量的安排，更要注重訓練的梯度性，具有科學的循序漸進的訓練程序，才能更有效地提高學生的學習效率。

【案例4】由4個等腰直角三角形組成，其中第1個直角三角形的腰長為1cm，求第4個直角三角形的斜邊長度。

變式1：已知條件不變，求第5個等腰直角三角形的斜邊長，并探究第n個等腰直角三角形的斜邊長為多少？

變式2：已知條件不變，求第6個等腰直角三角形直角邊的長，并探究第n個等腰直角三角形的直角邊長為多少？

3、變式教學要提高學生的“參與度”。設計問題變式要注重一個“變”，不能簡單的重復。變式題組的題目之間要有明顯的差異，要使學生對每道題既感到熟悉，又覺得新鮮，讓每一個學生都能夠參與到數學思考中來。

總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學生敢于思考，敢于聯想，敢于懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出“源于課本，高于課本”，并能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會“變題”，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。