挖掘幾何性質 巧解解析幾何問題

◇ 安徽 陳芬梅 吳劉維

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挖掘幾何性質 巧解解析幾何問題

◇ 安徽 陳芬梅1吳劉維2

解析幾何是高考的必考內容,有些問題對運算能力要求非常高,用坐標法求解解析幾何問題時,規律性強,思路比較簡單,但運算過程煩瑣．在一些解析幾何問題中若能挖掘出題設中圖形的幾何特征,并且充分利用平面幾何的有關性質,常常會降低解題難度,得到簡捷而巧妙的解法．本文簡舉幾例,利用平面圖形的幾何性質巧妙地解決解析幾何問題,意在培養學生運用幾何性質優化解析幾何計算的意識．

1 利用幾何性質巧解圓的問題

圖1

例1如圖1,已知圓O與坐標軸的3個交點分別為A(-1,0)、B(2 016,0)、C(0,-2),則該圓與坐標軸的第4個交點D點的坐標為________.

解析設圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)將A(-1,0)、B(2 016,0)、C(0,-2)代入圓方程得

所以圓的一般方程為

x2+y2-2 015x-1 006y-2 016=0.

再令x=0得y=-2或1 008, 由題意y=-2(舍),所以D點坐標為(0,1 008),此法計算量較大.

利用幾何性質: 利用平面幾何中圓的相交弦定理有|OA|·|OB|=|OC|·|OD|,所以

由題意可知D(0,1008),簡單快捷求得結果．

2 利用幾何性質巧解橢圓問題

解析如圖2所示,欲證∠AMF=∠BMF,可證kAM=-kBM,由于A、B2點是變化的且坐標未知,所以運算較煩瑣.

圖2

圖3

3 利用幾何性質巧解拋物線問題

例3已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,直線FA與拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,則|FM|∶|MN|=( ).

圖4

圖5

思路簡單,然而這種方法的運算過程較為煩瑣.

4 利用幾何性質巧解雙曲線問題

圖6

解析利用幾何性質:由題意可知F1(-c,0)、F2(c,0)，如圖6. 設△PF1F2內切圓的圓心在x軸上的投影點為A(x,0),此內切圓分別與PF1、PF2切于點M、N, 由切線長定理知

|PM|=|PN|, |F1M|=|F1A|, |F2A|=|F2N|.

結合圖形由雙曲線的定義知|PF1|-|PF2|=2a,所以(|PM|+|F1M|)-(|PN|+|F2N|)=2a,故|F1A|-|F2A|=2a. 而|F1A|+|F2A|=2c,所以|F1A|=c+a, |F2A|=c-a, |OA|=a,得出x=a．

總之,在遇到可以用幾何性質優化計算的解析幾何問題時,要有利用幾何性質優化解析幾何計算的意識,要努力克服重思路方法,輕計算技巧的頑癥,事實上這些策略也不是孤立的,在具體解題過程中,往往需要綜合考慮,相互補充,才能收到變難為易、化繁為簡、事半功倍的效果．