圓錐曲線綜合問題解答中需注意的幾個細節

◇ 山東 房 超

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圓錐曲線綜合問題解答中需注意的幾個細節

◇ 山東 房 超

圓錐曲線是高中數學的主干內容,此類命題綜合性較強,對學生的推理、論證、計算能力要求較高,解題中雖然部分同學能夠順利找到解題思路,但因計算煩瑣,常使解題半途而廢．本文以一道高考綜合題為例,就解題中需要注意的幾個細解進行說明．

(1) 當t=4,|AM|=|AN|時,求△AMN的面積;

(2) 當2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍.

本題充分地考查了解析幾何本質——用代數方法解決幾何問題.考查的基礎知識有直線方程的引入方法、直線與曲線的位置關系等，考查的思想方法有方程思想、轉化與化歸思想，較強的計算、變形能力是正確解題的關鍵.

1 認真審題,善于挖掘隱含條件

隱含條件也是已知條件,但題目中并沒有明確說明,是需要我們深入分析挖掘才能得出的條件．

如本題中曲線方程中含有參數t,但指出橢圓焦點在x軸上,故可得t>3;由條件MA⊥NA,知2直線斜率之積為-1;由條件2|AM|=|AN|可知問題的求解中要利用到弦長公式等等．這些信息都為后面的解題奠定了基礎．

2 基礎題的解答不驕不躁

此類問題通常設置2或3問,第(1)問較為基礎,只要規范解答、準確計算,即可順利得出所求結論．

(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,

因為AM⊥AN,所以

因為|AM|=|AN|,k>0,所以

整理得(k-1)(4k2-k+4)=0,而4k2-k+4=0無實根,所以k=1.

所以△AMN的面積為

3 明確問題的解答通法,找到解題切入點

此類問題通常以直線和曲線位置關系為背景,處理問題的常用方法：通過坐標法將幾何問題代數化后,引入直線方程后利用代入消元法、判別式法及根與系數的關系求解．

圖1

(注意對判別式的檢驗)

利用弦長公式得

(對于|AN|的求解,可利用直線AM與AN斜率的關系進行代換,進而簡化計算．)

因為2|AM|=|AN|,所以

綜上,對于圓錐曲線綜合問題的處理,通過本題的探究歷程來看,在習題教學中要引導學生學會思考、聯想、轉化,提煉歸納解題策略及數學思想方法,完善認知結構，深刻領悟解題原則,從而在錯綜復雜的變化中,抓住問題的本質特征,培養學生研究、探索問題的能力.簡化解題過程是我們追求的目標,由于圓錐曲線問題運算量大、綜合性較強,很多問題可能會因為冗長的運算、煩瑣的推理而導致無法進行到底,從而半途而廢.因此,在解答圓錐曲線問題時必須研究技巧與策略,尋求突破點,選用適當方法,以求做到簡潔、合理解題.

山東省濟南市長清第一中學)