向量在解答解析幾何問(wèn)題中的活用

◇ 山東 王 兵

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向量在解答解析幾何問(wèn)題中的活用

◇ 山東 王 兵

向量是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具.運(yùn)用向量求解解析幾何中的共線(平行)、垂直、夾角和位置關(guān)系等復(fù)雜問(wèn)題,不僅方法新穎、巧妙,而且可以減少計(jì)算量,優(yōu)化解題過(guò)程.下面以高考試題為例說(shuō)明向量在解答解析幾何問(wèn)題中的靈活運(yùn)用.

1 求解有關(guān)共線(平行)問(wèn)題

例1(2016年四川卷) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM斜率的最大值為( ).

點(diǎn)評(píng)本題若根據(jù)條件利用2點(diǎn)間的距離公式,會(huì)出現(xiàn)根式,計(jì)算量和難度都相當(dāng)大,這里利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算則較為方便,這就是用向量解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì).

2 求解有關(guān)垂直問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)2個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),它在求解有關(guān)垂直等問(wèn)題中有著明顯的優(yōu)勢(shì);2條直線垂直可轉(zhuǎn)化為2條直線的方向向量垂直,即2向量的數(shù)量積為0.

3 求解位置關(guān)系問(wèn)題

(1) 求橢圓E的方程;

(2) 設(shè)直線x=my-1 (m∈R)交橢圓E于A、B2點(diǎn),判斷點(diǎn)G(-9/4,0)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

解(1) 橢圓E的方程為x2/4+y2/2=1.

點(diǎn)評(píng)第(2)問(wèn),若利用點(diǎn)到圓心的距離和半徑比較大小,需將直線方程與橢圓E的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系求弦AB的中點(diǎn)H(即圓心坐標(biāo)),利用2點(diǎn)間的距離公式求|GH|,利用弦長(zhǎng)公式求|AB|,從而求出半徑,進(jìn)而比較大小判斷出點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,解題過(guò)程十分復(fù)雜.而這里通過(guò)構(gòu)造向量,由2個(gè)向量數(shù)量積的正、負(fù)來(lái)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，使解答過(guò)程簡(jiǎn)潔、輕松得多.

山東省泰安長(zhǎng)城中學(xué))