洛倫茲力問題中運動半徑的求解方法

◇ 河北 陳寶友(特級教師)

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洛倫茲力問題中運動半徑的求解方法

◇ 河北 陳寶友(特級教師)

“磁場”是高中物理的主干內容,歷年高考中必定出現,特別是帶電粒子在勻強磁場中受到洛倫茲力的作用而使粒子做勻速圓周運動的問題,更是每年高考幾乎必考的內容之一．

1 直接觀察法

圖1

例1磁譜儀是測量α能譜的重要儀器．磁譜儀的工作原理如圖1所示,放射源S發出質量為m、電荷量為Q的粒子沿垂直磁場方向進入磁感應強度為B的勻強磁場,被限束光欄M限制在極小的角度內,α粒子經磁場偏轉后打到與束光欄平行的感光片P上．(重力影響不計)若能量在E～(E+ΔE)(ΔE>0,且ΔE?E)范圍內的α粒子均垂直于限束光欄的方向進入磁場．試求這些α粒子打在膠片上的范圍Δx.

所以能量在E～(E+ΔE)范圍內的α粒子打在膠片上的范圍為

2 三角函數法

由于洛倫茲力的方向跟帶電粒子的運動方向垂直,因而很容易在此類問題中構建直角三角形,這就為利用三角函數求運動半徑提供了便利條件,所以在已知相關角度的情況下我們可以靈活運用這種方法．

圖2

例2如圖2所示,一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場.現從矩形區域ad邊的中點O處,垂直磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°、大小為v0的帶電粒子.已知粒子質量為m,電荷量為Q,ad邊長為l,重力影響不計.試求粒子能從ab邊射出磁場的v0值．

圖3

解析這是一道帶電粒子在有界磁場中的運動問題,由于磁場邊界的限制,粒子從ab射出磁場時速度有一定范圍．當v0有最小值v1時,粒子速度方向恰與ab邊相切;當v0有最大值v2時,粒子速度方向恰與cd邊相切,軌跡示意圖見圖3．

因此,粒子能從ab邊射出磁場的v0值為

3 勾股定理法

如上所述,在洛倫茲力問題中非常容易構建直角三角形,且在已知相關角度的情況下可以利用三角函數知識求得運動半徑．但在實際問題中,有的并不知道有關夾角而明確了有關長度,這時我們就可以采用勾股定理求解運動半徑．

圖4

A3m·s-1;B3.75m·s-1;

C4.5m·s-1;D5m·s-1

得

①

(1) 若小球與擋板ON碰撞一次,則軌跡可能如圖5-甲.設OO′=d,在△OO′M中,由勾股定理得:

r2=OM2+d2,

②

且

d=3r-ON.

③

聯立式②、③得r1=3m， r2=3.75m, 分別代入式①得v1=3m·s-1, v2=3.75m·s-1.

(2) 若小球沒有與擋板ON碰撞,則軌跡如圖5-乙,設OO′=y,由勾股定理得

,

④

而

y=ON-r3.

⑤

圖5

聯立式④、⑤得r3=5m,代入式①得v3=5m·s-1,故本題正確答案為A、B、D.

4 正弦定理法

對于直角三角形而言,在已知任意兩邊的情況下可方便地求出第三邊，但在三角形中不出現直角時,自然不能再使用勾股定理．此時如果已知任意兩角度及其中一角的對應邊,則可利用正弦定理求得另一角的對應邊,并進而求得運動半徑．

圖6

例4在xOy平面內的第一、四象限中,x軸上方有范圍足夠大的勻強磁場,磁感應強度為B,方向垂直紙面向里,x軸下方有范圍足夠大的勻強電場,場強為E,方向與y軸正方向相反．在xOy平面內有一點M,M點到O點的距離為L,直線OM與x軸正方向的夾角為θ,如圖6所示．現有1個電荷量為Q、質量為m的帶負電粒子位于y軸負半軸上的某點,忽略粒子重力．

(1) 將粒子由靜止釋放,該粒子在第1次由磁場返回電場的過程中恰好通過M點,求該粒子在磁場中的運動半徑．

圖7

解析(1) 粒子由靜止釋放,在第一次由磁場返回電場的過程中的運動軌跡容易作出,如圖7所示，則由三角函數求得運動半徑

(2) 粒子在電場中加速后進入磁場,有

①

此后在勻強磁場中做勻速圓周運動,設速度為v、半徑為r,根據牛頓第二定律有

②

設OM與粒子此時圓周運動的半徑所對應的夾角為α(如圖8),由正弦定理得

③

④

圖8

5 余弦定理法

在有的洛倫茲力問題中,若已知的長度比較多,但角度只有一個且不是直角,因此勾股定理與正弦定理均不能使用,但可考慮利用余弦定理來確定半徑，進而求解有關物理量．

圖9

例5如圖9所示，在半徑為R的半圓形區域中有一勻強磁場,磁場的方向垂直于紙面,磁感應強度為B．一質量為m、帶電荷量為Q的粒子以一定的速度沿垂直于半圓直徑AD方向經P點(AP=d)射入磁場(不計重力影響)．

(1) 如果粒子恰好從A點射出磁場,求入射粒子的速度．

(2) 如果粒子經紙面內M點從磁場射出,出射方向與半圓在M點切線的夾角為φ．求入射粒子的速度．

圖10

(2) 如圖10所示，設O′是粒子在磁場中圓弧軌道的圓心,連接O′M,設O′M=R2.由幾何關系得: ∠OMO′=φ,OO′=R2+R-d.

(1) 若電子槍的加速電壓U=35V,則電子離開電子槍的速度大小是多少?

(2) 電子以(1)問中的速度進入磁場,且勵磁線圈中的電流大小I=1A,求電子在磁場中運動的半徑.

(3) 若電子槍的加速電壓可以在0到875V的范圍內連續調節,且勵磁線圈的電流從0.5A到2A的范圍內連續調節．求玻璃泡上被電子擊中的范圍(僅要求在圖中玻璃泡壁上用筆標出即可)和電子運動到兩邊界點對應的半徑大小．

圖11

圖12

(3) 當電壓取875 V，電流取0.5 A時,半徑最大．最大值r=20 cm，如圖12所示.此時電子達到C點,在△OCO′中,由余弦定理有

O′C2=OC2+OO′2+2OC·OO′cos∠COO′

.

解得

6 相似三角形法

在有的洛倫茲力問題中,若已知的長度比較多,但角度不清楚,此時即可考慮利用相似三角形來確定半徑，進而求解有關物理量．

圖13

(1) 勻強電場的場強大小;

(2) 要使帶電小球無碰撞地穿出磁場并打到平板C3上,求磁感應強度的取值范圍．

圖14

小球剛好不與C2板相碰時磁感應強度最小設為B2,此時粒子的軌跡半徑為R2,由幾何關系有R2=d1=0.6 m, 解得B2=2/3 T.

綜合得磁感應強度B的取值范圍是2/3 T～1 T．

由上述各例不難看出,在求解有關洛倫茲力的問題中,關于半徑的確定方法盡管五花八門,林林總總,但經常用到的都是三角函數和勾股定理等,我們只要依據題意中提供的有關條件,靈活選擇合適的方法即可順利求得半徑,進而求得相關物理量．

河北省衡水市鄭口中學)