探究一類直線與圓綜合問題的求解根源

◇ 江蘇 王治剛

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探究一類直線與圓綜合問題的求解根源

◇ 江蘇 王治剛

直線與圓綜合問題常以直線和圓的位置關系(相切、相交、相離)為命題視角,求解中只要準確把握二者位置關系的判定條件(圓心到直線的距離與半徑之間的大小關系),即可以不變應萬變．

圖1

例1已知圓O:x2+y2=1,若直線y=kx+2上總存在點P,使得過點P的圓O的2條切線互相垂直,則實數k的取值范圍是________.

k2≥1,k∈(-∞,-1]∪[1,+∞)．

下面就此類問題的相關變式拓展探究．

1 變換已知,由明確到隱含

例2直線l:3x+4y+a=0,圓C:(x-2)2+y2=2,若在圓C上存在2點P、Q,在直線l上存在點M,使得∠PMQ=90°,則a的取值范圍是( ).

分析本題與例1相比,并沒有直接說明MP、MQ為切線,但根據圖形之間的位置關系,不難發現只需考查MP、MQ與圓C相切且滿足∠PMQ=90°時的情況即可.

2 逆向探究,確定點的位置

例3已知圓C:x2+y2=2,直線l:x+2y-4=0,點P(x0,y0)在直線l上,若存在圓C上的點Q,使得∠OPQ=45°(O為坐標原點),則x0的取值范圍是( ).

分析本題與例2相比,直線方程已知,問題轉化為探究點P的位置,因此可從以下2種視角實現問題的解答．

故正確選項為B.

圖2

3 改變結論,變定角為動角

例4已知P為直線y=x+1上的一動點,過P作圓C:(x-3)2+y2=1的切線PA、PB,A、B為切點, 則當|PC|=________時,∠APB最大．

圖3

分析本題改變例1的求解結論,求角∠APB取得最大值的條件,即在三角形中求解角度的最值問題,把求∠APB的最大值轉化為求∠APC的最大值．在三角形中,可以利用三角形的邊角關系把問題轉化為求“圓心到直線的最短距離”．

解如圖3，由圓的切線性質知

∠APB=2∠APC.

4 變換條件,改變夾角大小

圖4

分析本題將例1中∠APB=90°改為60°,可借助例4的方法求解．

解如圖4所示，由圓的切線性質可知∠APO=∠BPO=30°,且OA⊥PA.

在Rt△AOP中,

|PO|=2|OA|=2．

上述問題雖然問法不同,但解題的方法都是將問題轉化為直線與圓的位置關系,因此我們要善于在“變”中求“不變”,利用我們所學的基礎知識、解題規律和思想方法進行探究.

著名的數學教育家波利亞曾形象的指出:“好問題同某種蘑菇有些相像,它們都成堆地生長,找到一個以后,你應當在周圍找一找,很可能附近就有好幾個．”學習中由一個基本問題出發,運用改變條件、改變結論、改變形式、改變求解方法等,探索問題的發展變化,使我們發現問題的本質．變中求進、進中求通,拓展創新空間,引導學生的思維向縱深拓展．

江蘇省徐州市第三十六中學)