一道圓錐曲線的解析

◇ 福建 蘇燦強

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一道圓錐曲線的解析

◇ 福建 蘇燦強

直線與圓錐曲線的位置關系是歷年高考的必考內容,是高考的熱點和難點,解答題一般設置在壓軸題上,主要考查學生的綜合能力、思維拓展及運算能力,囊括高中重要的數學思想和方法,可以準確地衡量學生綜合解題能力以及數學素養．下面舉例講評．

圖1

(1) 求橢圓的方程;

(2) 設直線AC、BD斜率分別為k1、k2,求k1+k2.

1 闡述題意

本題是一道解析幾何綜合題,以直線和橢圓為載體,主要考查橢圓的標準方程、直線的斜率、直線與橢圓的位置關系等基礎知識.通過橢圓中的定點、定值問題綜合考查運算求解能力和推理論證能力.

已知條件:橢圓的焦點坐標及半焦距、離心率,線段OE=EF. 隱含條件:∠EOF=∠EFO,A、B關于原點O中心對稱,線段CD為焦點弦. 問題:直線AC、BD的斜率分別為k1、k2,求k1+k2的值.

學生的難點: 1)在帶字母的運算中,不注重算理的分析,不能使算法更合乎邏輯. 2)處理解析幾何問題的核心方法是將所涉及的幾何問題代數化,通過代數運算,解決幾何問題,其中重要的一點是加強對問題的代數轉化能力,線段OE=EF這個等式內容豐富,可利用角度多,怎么使用?學生很難準確選用. 3)在解決本題的過程中選擇不同的解題策略,運算量差距較大,如何在解題的過程中多角度地獲取信息、運用信息,進而選擇恰當的解題路徑.

本題對學生的運算能力,特別是算理分析有相當高的要求,思維量較大,屬難題.

學生的易錯點: 1)線段CD過點F,學生易簡單理解為過定點的直線,而忽略焦點弦的特征. 2)簡單的羅列關系、互相代換導致運算復雜化,算不出結果. 3)沒有解題思路,只知道套用公式,無法將題目中的條件進行代數轉化,而使解題無法繼續.

2 題目背景

從知識立意的角度分析,本題主要考查直線的斜率與方程、橢圓的方程和幾何性質,利用方程判定曲線的性質以及圓錐曲線中的定點問題等.

從能力立意的角度思考,本題對符號運算能力要求較高,要求學生具有較強的分析、論證能力.側重考查學生發現問題、分析問題、解決問題的能力,抽象概括能力,數與形轉化的能力,運算求解能力和推理論證能力,對知識的運用和遷移的能力等.對學生的數學直覺、直觀思維的敏捷性、演繹推理的邏輯性等.

試題的幾何背景來自于圓:在如圖2所示的圓中,因為∠1+∠2=∠3=∠4=∠5=∠6+∠7,且∠2=∠7,所以∠1=∠6.把上述結論推廣到橢圓中研究.試題的設計在注重基礎的前提下,充分體現了解析幾何的思想方法,強調了從學科的思想體系的角度去認識、把握知識和方法.

圖2

3 題目解答

x2/2+y2=1.

①

(2)方法1設直線AB的方程為

y=kx,

②

則直線CD的方程為

y=-k(x-1),

③

由式①、②得

(2k2+1)x2=2.

④

由式①、③得

(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0.

⑤

記A(x1,kx1),B(x2,kx2),C(x3,k(1-x3)),D(x4,k(1-x4)),則直線AC、BD的斜率之和

又由式④、⑤可知

則k1+k2=0.

⑥

則直線CD的方程為

⑦

由式①、⑦得

⑧

則直線AC、BD的斜率之和

方法3先取CD垂直與x軸的情況,判斷k1+k2=0,然后代入驗證.

4 總結提煉

處理圓錐曲線問題的精髓是將平面圖形坐標化,核心方法是將所涉及的幾何問題代數化,通過代數運算,解決幾何問題.形與數的恰到好處地整合能有效促進思維鏈的自然生長,學生借助于圖形直覺選擇問題情境的某些特征,確定所要探索的變量關系的各種可能性,并整體把握問題解決的方向.依靠代數定量分析演繹推理論證猜想,細化完善思路,從而使思維鏈得到有效延伸.在形與數2種不同形式的問題表征下,問題解決的脈絡會更清晰,效率會更高,方向會更準確.要培養學生有效控制運算失誤,注重數學符號運算變形和算理分析,尤其是合乎情理的算法的邏輯評估.要引導學生重視做題后的感悟,不僅要關注一題多解,更要能“聞一知十”,進行反省性抽象歸納、概括.

福建省安溪第六中學)