拋物線問題的多角度探究

◇ 江蘇 韓小波

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拋物線問題的多角度探究

◇ 江蘇 韓小波

與拋物線有關試題的命制通常以直線與拋物線相交為背景,考查點主要包括弦長、與焦點或準線有關的平面圖形的面積、定點、定值等問題．問題處理的常規方法利用坐標法,將幾何問題代數化處理．本文以一道直線與拋物線的綜合問題為例,就其中所涉及的解題方法、技巧等進行深入分析．

1 題目賞析

例已知點A(x1,y1)、D(x2,y2) (其中x1

(1) 當點B的坐標為(1,0)時,求直線AD的斜率;

本題背景為直線與拋物線相交,問題涉及2交點與拋物線頂頂點構成的三角形面積問題．

第(1)問題較為基礎,解答略.下面對第(2)問從多角度探究．

2 解法探究

2.1 利用分割法

圖1

如圖1,設直線AD與x軸交點為M,△OAD的面積可由△OMD的面積減去△OMA的面積,而這2個三角形的底邊相等,均為|OM|,則面積差問題轉化為2個三角形高的差的問題,進而轉化為A、D2點縱坐標差的問題,即|y2-y1|,再利用直線方程將y1、y2用x1、x2表示,結合已知條件求解．

方法1設直線AD的方程為y=kx+m，則

因為Δ=16-16km>0,所以0

2.2 利用弦長公式

三角形面積的求解除了分割法以外,還可利用弦長公式直接求出△OAD的底邊|AD|的長,再利用點到直線的距離公式求出三角形的高h,進而直接求面積．

方法2設直線AD的方程為y=kx+m.

因為Δ=16-16km>0,所以0

2.3 點差法,設而不求

①

3 變式演練

此類問題的處理方法也可推廣到橢圓或雙曲線問題中,如下面的變式題．

(1) 求橢圓M的方程;

因篇幅所限,過程略,請同學們按文中例題所述方法進行求解．

通過對一道問題的多角度分析,能有效考查學生基礎知識的掌握程度以及靈活應用所學內容分析問題、解決問題的能力．

江蘇省南京市溧水區第三高級中學)