一題多變探究解析幾何中三角形面積問題

◇ 江蘇 沈永彬

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一題多變探究解析幾何中三角形面積問題

◇ 江蘇 沈永彬

變式訓練是鍛煉、培養學生解題思維的有力工具.對一道題目的變式主要包括題目條件的變化、所給形式的變化、背景的變化等,通過這些變化可有效考查學生應變能力、分析問題及解決問題的能力．下面舉例分析．

例1已知直線l的方程為x+my-2m-1=0且m≠0．設直線l與x、y軸的正半軸分別交于M、N2點,O為坐標原點,求△MON面積最小時l的方程．

解析方法1分別令y=0或x=0,得A(2m+1,0)、B(0,2+1/m).

此時直線l的方程為2x+y-4=0．

點評求三角形面積的最小值,關鍵是構造出面積關系式,本題從2種視角分別利用均值不等式求出三角形面積的最小值．應用中注意均值不等式成立的條件,即“正、定、等”．

1 改變問題形式

例2在平面直角坐標系xOy中,O是坐標原點,設函數f(x)=k(x-2)+3的圖象為直線l,且l與x、y軸分別交于A、B2點,給出下列4個命題:

① 存在正實數m,使△AOB的面積為m的直線l僅有1條;

② 存在正實數m,使△AOB的面積為m的直線l僅有2條;

③ 存在正實數m,使△AOB的面積為m的直線l僅有3條;

④ 存在正實數m,使△AOB的面積為m的直線l僅有4條．

其中所有真命題的序號是________.

解析易知直線l過定點P(2,3).如圖1所示,當直線l交x軸于負半軸、交y軸于正半軸時,△ABC的面積為任意正實數,不存在最值．

如圖2,當直線l交x軸于正半軸、交y軸于負半軸時,△ABC的面積為任意正實數,不存在最值．

如圖3所示,當直線l交x、y軸于正半軸時,此情況同例1,△ABC的面積存在最小值,設為s.

圖1

圖2

圖3

當m

當m=s時,圖1、2、3的情況中各有1條直線滿足條件,共3條．

當m>s時,圖3中有2條直線滿足條件,圖1、2的情況中各有1條直線滿足條件,共4條．

故正確答案為②③④．

點評本題從形式上看與例1不同,但深入探究問題的本質不難發現,依然是求面積最值問題．從條件中看,沒有指明點A、B所在的位置,也可能在負半軸上．故需分情況討論求解．

2 改變問題背景

例3設m、n∈R,若直線l:mx+ny-1=0與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長為2,O為坐標原點,則△AOB面積的最小值為________.

點評本題以圓為新的背景,將例1中直線過定點的條件改為直線與圓相交所得的弦長為定值,從而利用垂徑定理構造出m、n的定值關系,利用均值不等式求面積最值．

3 改變限制條件

例4圓x2+y2=4的切線與x、y軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為P.

(1) 求點P的坐標;

圖4

(2) 略．

點評本題將限制條件改為直線與已知圓相切,通過引入切線方程y=kx+b,利用切點與圓心的連線垂直切線的性質,將b用k的表示,再利用例1求解方法構造出面積表達式,借助均值不等式求解．

綜上,一題多變的訓練能有效考查學生靈活利用所學知識分析問題和解決問題的能力．通過探究問題本質,找出共性,以不變應萬變快速解決問題．

江蘇省寶應縣安宜高級中學)