解析幾何最值問題的拓展探究

◇ 山東 陳永橋

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解析幾何最值問題的拓展探究

◇ 山東 陳永橋

解析幾何最值問題是高考重點考查題型,且常以把關題的形式出現,問題求解的關鍵是利用坐標法、代入消元法、根與系數的關系等,將幾何問題代數化后,構造目標函數,再利用求函數最值的常用方法求解．下面引例說明．

(1) 求橢圓M的方程;

(2) 直線l與橢圓M交于A、B2點,且線段AB的垂直平分線經過點(0,-1/2),求△AOB(O為原點)面積的最大值.

本題第(1)問屬于基礎題型,準確把握已知條件中所給的平面幾何性質即可順利求解．橢圓M的方程為x2/3+y2=1(過程略).

1 利用均值不等式

第(2)問解答設A(x1,y1)、B(x2,y2),因為AB的垂直平分線通過點(0,-1/2), 顯然直線AB有斜率,當直線AB的斜率為0時,AB的垂直平分線為y軸,則x1=-x2、y1=y2,所以

點評針對目標函數中出現和為定值或積為定值的形式,可首選均值不等式法求解．某些問題中均值不等式的形式并不明顯,可通過換元將定值條件顯現出來后,再利用均值不等式求解．

2 利用二次函數配方法

(3k2+1)x2+6kt+3t2-3=0.

當Δ=4(9k2+3-3t2)>0,即

3k2+1>t2,

①

方程有2個不同的解.

3k2+1=4t,

所以

3 三角換元法

(1) 求橢圓C的方程;

(2) 若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標;

(3) 設Q(x,y)是圓P上的動點,當t變化時,求y的最大值．

本題是圓與橢圓的綜合問題,解題中需要充分結合圓與橢圓的幾何性質,將幾何問題代數化,進而構造目標函數來求最值．

解析(1)x2/3+y2=1.(2) 根據題意知P(0,t) (-1

(3) 由(2)知,圓P的方程x2+(y-t)2=3(1-t2)．因為點Q(x,y)在圓P上,所以

設t=cosθ,θ∈(0,π),則

當θ=π/3,即t=1/2且x=0時,y取最大值2.

點評針對變量的范圍是[-1,1]的函數最值問題,可考慮借助三角換元法將目標函數轉化為y=Asin(ωx+φ)型求解．某些問題的求解中也可利用圓錐曲線的參數方程,引入三角變量求最值．

除上述方法外,還常用到基本函數法(借助基本初等函數值域求解)、分離常數法等.請同學們在學習中不斷積累總結此類問題的處理策略,以提高解題能力．

山東省章丘市第五中學)