2016年高考數學卷導數綜合題解析

◇ 北京 王保東(特級教師) 相文明

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2016年高考數學卷導數綜合題解析

◇ 北京 王保東1(特級教師) 相文明2

導數綜合題均采用“多問把關”的形式,一般涉及曲線的切線方程、函數的性質,以及相關不等式的證明等問題.其核心是通過導數的單調性和局部判斷等手段得到適當的函數圖象,達到“以圖啟數、以數論形”的目的.在高考中,導數綜合題都是中檔題和較難題,突出考查函數與方程、等價轉化、數形結合、分類與整合、有限與無限等思想方法和探索精神,對學生具有的數學思想方法、利用數學知識分析問題和解決問題的能力、數學學科素養都有很高的要求.

1 利用二次求導,弄清函數性質

利用導數解決函數問題時,一般步驟為確定函數的定義域;求函數的導數;判定導函數的零點或導函數的符號;確定原函數的圖象.在今年的高考試題中,許多學生在求導函數的零點時遇到障礙,求導函數的零點需要解超越方程,而超越方程沒有一般的求解方法,這時就要換個角度想問題,把導函數或導函數變形后的部分看成一個新函數,再對新函數求導,通過研究新函數的性質,把握原函數的性質.這個過程,通常被稱為“二次求導”.在無法判定導函數的零點或導函數的符號時二次求導就顯得尤為重要,它會使解題方向峰回路轉,收到意想不到的效果.

例1(2016年北京卷理科18題) 函數f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4.

(1) 求a、b的值;

(2) 求f(x)的單調區間.

解析(1) 因為f(x)=xea-x+bx,所以

f′(x)=(1-x)ea-x+b.

(2) 由(1)可知f(x)=xe2-x+ex,f′(x)=e2-x(1-x+ex-1).由e2-x>0,可知f′(x)與1-x+ex-1同號.

令g(x)=1-x+ex-1,則g′(x)=-1+ex-1.所以,當x∈(-∞,1)時,g′(x)<0,g(x)在區間(-∞,1)上單調遞減;當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在區間(1,+∞)上單調遞增.故g(1)=1是g(x)在區間(-∞,+∞)上的最小值.

從而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).

綜上f′(x)>0,x∈(-∞,+∞).

故f(x)的單調遞增區間為(-∞,+∞).

點評本題第(1)問考查導數的幾何意義——切線問題,它在選擇題、填空題和解答題中都有可能出現.解題的關鍵是抓住切點,沒給切點的要先設出切點坐標(x0,y0),再利用切點處的導數等于切線的斜率和切點是原函數的圖象與切線的公共點構造方程組求解.第(2)問是求函數的單調區間問題,按照解題步驟在解導數大于零和導數小于零時遇到了困難,此時,將導函數中符號不確定的因式構造成新函數,進行二次求導,結合第二次導函數的正、負,很好地解決了一次導數的正、負問題,進而解決了原函數的單調區間問題.

2 利用承上啟下,巧妙解決問題

高考主要考查學生數學知識、思想方法、思維能力和數學素養.試題既重基礎,又體現靈活創新,但考場上時間是有限的,盲目套用成題模式,往往會事倍功半.所以做高考解答題時要關注一道題的前后之間、上下問之間是否有聯系,許多試題在問題與問題之間是相互聯動、普遍聯系的,前面問題的解決對后面問題的解決是有影響和幫助的.

(x-2)ex+x+2>0.

(-∞,-2)∪(-2,+∞),

因為當x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)時,f′(x)≥0.所以f(x)的單調增區間為(-∞,-2)、(-2,+∞).

思路1構造新函數,二次求導.

設h(x)=(x-2)ex+x+2,x>0,則

h′(x)=ex+(x-2)ex+1=(x-1)ex+1.

令m(x)=h′(x)=(x-1)ex+1,則

m′(x)=ex+(x-1)ex=xex.

因為當x>0時,m′(x)>0，故m(x)的單調增區間為(0,+∞),且m(0)=0.所以當x>0時,m(x)>0,即h′(x)>0.所以h(x)的單調增區間為(0,+∞),且h(0)=0.所以當x>0時,h(x)>0,即當x>0時,(x-2)ex+x+2>0.

思路2觀察函數f(x)與欲證不等式,建立聯系.

由(1)知,f(x)+a在(0,+∞)上單調遞增.

對任意a∈[0, 1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0. 因此存在唯一的t∈(0, 2],使得f(t)+a=0,即g′(t)=0.

當0

當x>t時,f(x)+a>0,g′(x)>0,g(x)單調遞增.

因此g(x)在x=t處取得最小值

點評本題第(1)問判斷函數單調性,考查“乘積函數”和“商”函數的導數運算法則,雖然屬于基礎知識、基本方法和基本技能,但有一定的綜合性,求解過程突出對運算能力的考查,關注數學的核心素養;在證明不等式時,把它看成一個獨立的問題,構造新函數,并采用二次求導的方法解決.但是觀察到所證不等式就是f(x)>f(0)的變形,自然會用函數單調性求解.第(2)問看似是一個熟悉的求最值問題,一旦動手,發現困難重重,即使直接運用二次求導也不易求解.只有認真觀察,將函數g′(x)進行拆分,借助函數f(x)的性質才能解決.題目在常規問題中體現著不平凡的設計理念,對突破模式化教學具有很好的引領作用.

3 利用局部判斷,弄清變化規律

在導數的應用中,最基本的是由導函數的符號判斷原函數的增減,得到原函數的“草圖”,但這個“草圖”是否真的可靠,還需要對圖象的邊界點,以及變化趨勢加以定性和定量分析,才能整體把握函數圖象的變化規律,正確解決所求問題.

例3(2016年全國乙卷理科21題) 已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有2個零點.

(1) 求a的取值范圍;

(2) 設x1、x2是函數f(x)的2個零點, 證明:x1+x2<2.

解析(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=

(x-1)(ex+2a).

當a=0時,f(x)=(x-2)ex,函數f(x)只有1個零點.

當a>0時,f′(x)與f(x)的關系如表1.

表1

所以f(x)在(-∞,1)單調遞減,在(1,+∞)內單調遞增,fmin(x)=f(1)=-e<0.

又f(1)<0,且f(x)在(-∞,1)單調遞減,所以在(-∞,1)上存在唯一的零點.故f(x)存在2個零點.

當a<0時,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

又當x≤1時,f(x)<0.所以f(x)不存在2個零點.

當1

當x>ln(-2a)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增.

又當x≤1時,f(x)<0.所以f(x)不存在2個零點.

綜上所述,當且僅當a>0時符合題意,即a的取值范圍為(0,+∞).

(2) 不妨設x1

x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),

f(x)在(-∞,1)單調遞減.所以x1+x2<2 等價于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.

由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而

f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,

所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.

設g(x)=-xe2-x-(x-2)ex, 則

g′(x)=(x-1)(e2-x-ex).

所以當x>1時,g′(x)<0,而g(1)=0,故當x>1時,g(x)

從而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.

點評在第(1)問a>0的討論過程中,可知函數f(x)在(-∞,1)內單調遞減,在(1,+∞)內單調遞增,再結合f(1)=-e<0,有些學生就會據此得到函數一定有2個零點.針對本題,結果是正確的,但說理是不嚴謹的,還需說明在(-∞,1)和(1,+∞)上分別存在函數值大于零的x值,才能確定函數f(x)有2個零點.出錯的原因是對函數f(x)圖象的把握不夠準確,只有綜合考慮函數的極值、最值、單調性以及圖象的變化趨勢才能得到函數的“真”圖.在a<0的討論過程中,我們先研究函數單調性,再借助函數解析式對函數值進行局部判斷,得到當x≤1時,f(x)<0,就能得到合適的“草圖”,而這個“草圖”對解決當前問題足夠用了.這種“判斷函數值在某部分的符號,并結合函數單調性,得到‘草圖’”的方法可以簡化運算,在許多高考題中都有體現.在第(2)問中,通過函數的單調性,把x1+x2<2等價轉化為f(x1)>f(2-x2)是解決問題的關鍵.

通過以上導數高考題的分析,清晰地看到對導數題的考查萬變不離其宗.所以高考復習過程中,考生面對給出的題目,首先是弄明白要解決的問題是什么,它能轉化成什么問題;接下來是思考為了解決上面的問題,有可能用到的函數是什么,學生要有根據問題構建恰當函數的意識和基本方法;研究上面構建出來的函數(一般要借助導數).導數的考查不只停留在利用導數研究函數性質的層面,要能夠利用所構建的函數的性質去解決問題.

導數題綜合性強,對數學思想和數學運算能力的要求都很高,復習中不可能一步到位,應該循序漸進,從而更好地提高學生學習數學的自信心和解決數學問題的能力.

建議在高三第1輪復習時,注意以下3點:

1) 重視基礎,把復習落到實處.

理解基礎要到位,記憶公式要準確,運用知識要靈活,設計活動要合理,復習才能落到實處.

2) 重視表述,使復習講求實效.

重視書寫的規范性、思維的嚴謹性、表述的合理性,不要讓會做不會寫成為復習路上的絆腳石.

3) 重視方法,讓復習有規可循.

恒成立問題(存在性)問題,優先分離變量;不等式證明轉化為函數最值問題;解導數為零的方程有障礙時,采取二次求導等.熟悉常見的解題策略,明確解題方向,達到事半功倍的效果.

(注:本文為“北京市教育學會‘十三五’教育科研課題:‘互聯網+’下高中數學青年教師課堂教學行為研究”成果之一.)