一道數學高考題的多解與探究

◇ 北京 李艷茹

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一道數學高考題的多解與探究

◇ 北京 李艷茹

1 題目與簡析

(1)求橢圓C的方程及離心率;

(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值.

本題屬于解析幾何問題,主要考查的是橢圓的方程及其簡單的幾何性質,以及直線和橢圓的位置關系,考查學生分析問題、解決問題的能力,同時也考查了運算能力．

2 解題方法探究

第(1)問可以通過解方程求解,即將點A、B的坐標代入橢圓方程解出a2和b2(或者根據橢圓簡單的幾何性質直接得出a和b),從而得出橢圓的方程.再依據橢圓中a、b、c的關系求出c,最后由離心率公式得出橢圓的離心率．第(2)問有多種解法,現對不同解法做簡單的分析．

所以四邊形ABNM的面積

從而四邊形ABNM的面積為定值.

點評該解法是將題目的文字敘述翻譯成了符號語言,以設橢圓上的點P(x0,y0)坐標為出發點,利用直線PA和PB的方程得出點M、N的坐標,用x0、y0表示出線段|AN|和|BM|的長,再利用四邊形ABNM對角線垂直的特征得出四邊形ABNM的面積,此種解法計算量較小．

方法2設直線PA方程為y=k(x-2)(k>0), 當x=0時,yM=-2k,即M(0,-2k), 所以|BM|=|1-yM|=1+2k.

(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0,

從而四邊形ABNM的面積為定值.

點評該解法利用直線與橢圓的位置關系,以設直線PA的方程為出發點,通過解析幾何的常用解法,直線方程與橢圓方程聯立消元得到關于x的一元二次方程,再利用根與系數關系得出點P的坐標,進而寫出直線PB的方程.利用直線PA和PB的方程得出點M、N的坐標,用k表示出線段|AN|和|BM|的長,再利用四邊形ABNM對角線垂直的特征得出四邊形ABNM的面積,此法只引進了一個變量k,計算量比較大．

方法3設直線PA方程為y=k1(x-2)(k1>0). 當x=0時,yM=-2k1,即M(0,-2k1),所以|BM|=|1-yM|=1+2k1.

所以四邊形ABNM的面積

從而四邊形ABNM的面積為定值.

點評該解法利用直線與橢圓的位置關系,以設直線PA和直線PB的方程為出發點,通過解析幾何的常用解法,直線PA方程與直線PB的方程分別與橢圓方程聯立消元得到關于x的一元二次方程,再利用根與系數關系得出點P的2種橫坐標的表示形式,進而得出2個斜率k1和k2的關系,再利用直線PA和PB的方程得出點M、N的坐標,用k2和k1分別表示出線段|AN|和|BM|的長,再利用四邊形ABNM對角線垂直的特征得出四邊形ABNM的面積,此法只引進了2個變量k1和k2,計算量比較大．

從而四邊形ABNM的面積為定值.

圖1

則點P到直線MN的距離

從而四邊形ABNM的面積為定值.

點評此解法是利用了間接的方法求四邊形的面積,注意到四邊形ABNM的面積可以用2個三角形的面積的差來表示.整個解題過程圍繞求2個三角形面積展開,即求△PAB的底邊|AB|及點P到直線AB的距離d,△PMN的底邊|MN|及點P到直線MN的距離d1,此種發方法的計算量非常大,在計算求解的過程中要非常細心才行．

北京市懷柔區第一中學)