利用圓心到直線的距離解題例說

◇ 湖北 陳克林

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利用圓心到直線的距離解題例說

◇ 湖北 陳克林

直線與圓的位置關系問題的求解主要涉及2種方法:代數法和幾何法．代數法通過將直線方程與圓的方程聯立,代入消元后得關于x的一元二次方程,利用判別式及根與系數的關系尋找已知與未知的關聯．幾何法主要是利用圓心到直線的距離建立橋梁．本文主要從幾何角度尋求問題的求解思路．

例1(2016年全國卷Ⅱ)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=( ).

本題求解中直接利用點到直線的距離公式求出弦心距,結合已知距離建立含參數a的方程,解方程即可得出正確結果．下面對圓心到直線的距離在有關問題中的應用舉例分析．

1 與面積有關的問題

例2過點(2,0)引直線l與圓x2+y2=2相交于A、B2點,O為坐標原點,當△AOB面積最大時,直線l的斜率為( ).

當直線l的斜率不存在時,l的方程為x=2,不符合題意．

故正確選項為C.

變式設直線l:mx+ny-1=0 (m、n∈R*)與x、y軸相交于A、B2點,且l與圓x2+y2=19相交所得弦長為2,O為坐標原點,求△AOB面積的最小值．

解析由題設可知,直線l與2坐標軸的交點為A(0,1/n)、B(1/m,0)．

點評例2是求過定點的直線與圓相交所得的2個交點與圓心構成的三角形面積最值.變式中將過定點的條件改為直線與圓相交所得弦長為定值,利用平面幾何性質構造出面積關系式,進而利用均值不等式求最值．

2 與相切有關的問題

例3(2015年江蘇卷) 在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0 (m∈R)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為________.

解析將方程mx-y-2m-1=0整理得y+1=m(x-2),即直線過定點D(2,-1).易知圓心C到直線mx-y-2m-1=0的距離小于等于|CD|,最大半徑

此時圓的標準方程為(x-1)2+y2=2.

變式在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點,使得以該點為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最大值是________.

解析圓C的方程可化為(x-4)2+y2=1,所以圓C的圓心為(4,0),半徑為1．

由題意可知直線y=kx-2上至少存在一點A(x0,kx0-2),以該點為圓心、1為半徑的圓與圓C有公共點，所以存在x0∈R,使得|AC|≤1+1成立,即|AC|min≤2．

點評以上2例通過直線與圓相切、圓與圓相切,找到取得最值的位置,進而順利求解．

3 與弦長有關的問題

圖1

C[-2,2];

解析如圖1所示,由向量加法的平行四邊形法則,知

變式(2014年重慶卷) 已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A、B2點,且△ABC為等邊三角形,則實數a=________.

點評上述例4及變式均是通過將題目條件中所給幾何關系等價轉化為弦心距離問題,利用點到直線距離公式構造出不等式或方程來解決問題．

綜上,可以看出圓心到直線的距離在上述問題的求解中起了重要的作用．深入挖掘題目的隱含條件,準確利用即可順利解題．

湖北省咸寧市青龍山高中)