2016年高考數學四川卷理第20題的推廣

◇ 江西 黃賢鋒 北京 童嘉森(特級教師)

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2016年高考數學四川卷理第20題的推廣

◇ 江西 黃賢鋒1北京 童嘉森2(特級教師)

(1) 求橢圓E的方程及點T的坐標.

(2) 設O是坐標原點,直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的2點A、B,且與直線l交于點P.證明:存在常數λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.

(2) 存在常數λ=4/5.

本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質,考查直線與橢圓的位置關系,以及利用“設而不求”的方法求相關線段的長;本題運用“幾何問題代數化”的基本思想探究橢圓的切線和相關割線之間的內在聯系,思辨性強.

回顧此題,筆者引發如下思考:常數λ與切點T究竟有怎樣的內在聯系?對于這樣一對特殊的切線和割線,能否得出一般性的結論?該結論能否推廣到雙曲線和拋物線呢?

經過一番涂入思考,筆者得出了如下幾個結論,希望能和大家共勉.

圖1

2) 當T為左、右頂點,即y0=0時,易得上述結論也成立.

類比結論1,可得出雙曲線中的類似結論.

進一步得出拋物線中的類似結論.

圖2

證明如圖2,設P(x1,y1),因為拋物線y2=2px的點T(x0,y0)處的切線l方程為y0y=p(x+x0),所以

將l′的方程與拋物線方程聯立代入,可得(y1+tsinθ)2=2p(x1+tcosθ),整理得

所以

因為點P(x1,y1)在切線l上,由弦長公式可得

探究至此,深感這道高考題的內涵十分豐富,試題的一般性結論凸顯了圓錐曲線的一類切線與割線的內在聯系,揭示了該問題的幾何本質.