初中數學中的應用

【摘 要】數學課程歷來強調幾何變換在課程中的應用，初中階段數學課程要求通過教與學探索幾何變換（初中階段主要指圖形的平移、旋轉、對稱及位似變換，這些變換是學習重點和考試重點）的基本性質和圖形之間的變換關系，并能按要求作出平面圖形經變換后的圖形，能利用幾何變換解決問題。本文結合中考題中關于“空間與圖形”的考點和題目類型，利用幾何變換的特點探討幾何變換在初中數學中的應用。

【關鍵詞】平移變換 旋轉變換 對稱變換

一、引言

由變換的觀點看幾何學，就是用運動變化的思想去把握幾何圖形哪一些性質是不變的。而運動可歸結為平移、旋轉、對稱三種基本變換的組合。它們共同的特點是保持圖形的形狀不變，從而圖形中線段長度不變、夾角不變、面積不變、點的共線性不變、線的共點性不變。運動把一個圖形變為與它全等的圖形。

隨著課改的推行和實施，幾何變換已納入初中數學教材中。并且加強了有關幾何圖形的平移變換，軸對稱變換和旋轉變換的內容。初中階段要求通過教與學探索這些幾何變換的基本性質和圖形之間的變換關系，并能按照要求作出平面圖形變換后的圖形，利用幾何變換解幾何題。在數學的教學及學習中，培養用變換的觀點解題，無疑是很重要的，最常見的變換方法有平移，旋轉，對稱。這幾種方法在初中幾何求解題，證明題，作圖題中有著廣泛的應用。能靈活的應用幾何變換的思想解題，將幫助初中學生解決很多類的幾何題。

二、相關概念

1.平移變換（略） 2.旋轉變換：在平面中，將圖形F上所有的點繞著某一定點，按照同一個方向轉動同樣的角度，稱為圖形F的旋轉。

3.對稱變換：對稱，在現代漢語詞典中解釋為指圖形或物體對某個點、直線或平面而言， 在大小、形狀和排列上具有一一對應關系數學中的對稱主要有幾何對稱和代數對稱一幾何對稱是一種位置對稱， 從變換的角度而言， 平面圖形有軸對稱、中心對稱和平移對稱三種對稱形式代數對稱通常有二元對稱和多元輪換對稱共扼、對偶、配對也可看作是一種廣義的對稱對偶是一種深層次的對稱， 其對稱性不表現在形狀上，而表現在某種關系上對偶原則是射影。

上述三種幾何變換的性質教材中都有涉及，限于篇幅不再贅述。

三、幾何變換在初中數學中的應用

幾何變換的思想不僅用于幾何命題的論證，而且也較為廣泛的用于計算、軌跡、作圖等方面。對于中學生，特別是初中生，雖然在理論上不做介紹，但在解題過程中應該有意識地滲透變換思想，不斷開拓學生的解題思路。

1.平移變換的應用：在平面幾何題中，如果有平行線，常可嘗試利用平移變換來解題，將分散的條件集中在一起，具有更緊湊的位置關系或變換成更簡單的基本圖形。如果題目中關于線段或角的已知條件較為分散、交錯或位置不當，可嘗試利用平移將一部分條件改變位置，使它們重新組合，以利于問題的解決。

一些常用到的平移變換的特殊情形有：（1）與定長、定向的線段有關的問題，常用平移；（2）與梯形、正方形有關的問題，常可用梯形、正方形的特性作平移。

平移變換是數學中考的重點也是難點，一般情況下是以作圖題的形式出現的。但有些題目沒明確要求使用平移變換，條件相對隱藏，所以具體問題需要具體分析。

2.旋轉變換的應用：旋轉變換保持圖形全等，但圖形的方位可能有變化。在幾何解題中，旋轉的作用是使原有圖形的性質得以保持，但改變其位置，使其能組合成新的有利論證的圖形。在平面幾何的計算題和證明題中有一類問題，題設中有線段與線段，或角與角相等的條件時可考慮用旋轉變換來解證。

運用旋轉變換解證平面幾何題一般應按以下五個步驟進行：1.分析題設條件，盡可能地找出線段與線段角與角之間的所有等量關系；2.通過適當的旋轉變換，變更圖形中某個三角形的相對位置，使盡可能多的相等的線段或角重合；3.根據旋轉變換前后的三角形全等和題設條件中的等量關系，找出變換后的圖形中的等量關系；4.利用新圖形中的等量關系并結合題設條件，分析找出新等量關系，尋求解證題途徑；5.解證題。

3.對稱變換的應用：問題的對稱性存在于數學的各個部分知識中，有些是顯然的，有些是隱蔽的，如果解題時能意識到和挖掘，常常能收到意想不到的結果，得到異常簡捷的解法。

四、結論與思考

1.結論：在數學的教學中，培養學生用變換的觀點解題，無疑是很重要的。本文主要探討了三種最常見的幾何變換（平移、旋轉、軸對稱變換）在初中數學中的運用。幾何變換在數學中的重要思想就是將較為分散的已知條件轉化為易求解的，比較集中的條件，進而求出其解。中考的許多類型的幾何題都可以運用幾何變換來求解。但在運用幾何變換之前必須熟悉的掌握最基本的解題技巧以及解題條件，必須看清楚題目，并能靈活的運用幾何變換的思想來解決有難度的題目。幾何變換是一種重要的數學思想方法，也是化歸思想的一種表現形式，它強調用變化的、運動的觀點來處理孤立的、離散的問題。在解決初等幾何問題中，題目表面給出的條件往往顯得不夠。從運動的觀點來考慮幾何問題，是原來靜止的圖形“動”起來，即通過平移，旋轉，對稱等幾何變換，把圖形作一定的變換，有利于發現問題的隱含條件，使問題的條件信息和結論信息在新情境下聯結起來，找到問題的突破口。

2.思考：既然幾何變換能夠解決許多的數學中考中的幾何題目，那么怎樣才能使學生輕松的掌握這種方法，怎樣才能使學生遇到題目時得心應手，這將是教學中需要解決的問題。希望本文能對一線教師教學能有所借鑒。