深挖知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維

[內(nèi)容摘要]數(shù)學(xué)是思維的“體操”。在教學(xué)中，應(yīng)深挖一些題目的內(nèi)在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用類比，聯(lián)想等思維方式，發(fā)現(xiàn)新的知識(shí)與方法。本文從圓的切線作為切入點(diǎn)，探討了點(diǎn)在圓上，圓外，圓內(nèi)時(shí)，一個(gè)重要的方程所表示的幾何意義。培養(yǎng)了學(xué)生探索創(chuàng)新的能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

[關(guān)鍵詞]點(diǎn) 直線 圓 切線 切點(diǎn)弦

數(shù)學(xué)以其縝密的邏輯向人們展示著它的美，培根就說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)是思維的體操。然而，不少學(xué)生卻忽略了它的美麗，在題海中疲憊地掙扎，完全不顧對(duì)基本要領(lǐng)理解，這種只顧埋頭拉車，而不抬頭看路的做法，往往導(dǎo)致事倍功半，極大地挫傷學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。

圓因其具有完美的對(duì)稱性深受人們的喜愛(ài)，對(duì)圓的研究自古有之，自從笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系后，我們得以借助方程更方便地來(lái)研究圓的更多性質(zhì)。

引例：圓 在點(diǎn) 處的切線方程為_(kāi)__________.

分析：因?yàn)?在圓上，所以切線方程為，即.

上題中，點(diǎn)在圓上，我們將點(diǎn)的坐標(biāo)去換了一個(gè) ，得到的直線方程恰為圓的切線。那如果點(diǎn)在圓外、圓內(nèi)時(shí)，這樣得到的直線又是什么呢？

事實(shí)上，我們有如下的定理：

定理：

如果圓 ，點(diǎn) ， 與圓心 不重合，直線 ，圓心 到直線 的距離為 ，則有：

（1）當(dāng)點(diǎn) 在圓上時(shí)， 表示圓 在點(diǎn) 處的切線；

（2）當(dāng)點(diǎn) 在圓外時(shí)，①過(guò)點(diǎn) 作圓的兩條切線， 表示切點(diǎn)弦所在直線，②直線 與圓 相交， ③直線 ，④

（3）當(dāng)點(diǎn) 在圓內(nèi)時(shí)，①過(guò) 上任一點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)弦過(guò) 點(diǎn). ②直線 與圓 相離， ③直線 ，④ .

例1：過(guò)點(diǎn) 作圓 的兩條切線，切點(diǎn)為 。則直線 的方程為_(kāi)_________.

分析：由定理知，直線 的方程為 ，即 .

例2：從 上的任一點(diǎn) 作圓 的兩條切線，切點(diǎn)為 ，則弦 的最小值為_(kāi)________.

分析：設(shè)，由定理知直線 為 ：，所以圓心到直線 的距離為 ，故 .

例3：點(diǎn) 是圓 內(nèi)一點(diǎn)，過(guò) 作兩條不過(guò)圓心的弦 ，分別過(guò)點(diǎn) 作圓的切線相交于 ，過(guò) 作圓的切線相交于 ，求直線 的方程。

分析：由定理知（3）③知，直線 的方程為 ，化簡(jiǎn)得 .

類比圓，橢圓是否也有類似的性質(zhì)呢？雙曲線和拋物線呢？讀者可自行研究。

總之，正確地多角度觀察、分析問(wèn)題，再運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵所在。歸納總結(jié)所學(xué)知識(shí)，進(jìn)行推廣，聯(lián)想，類比，探索得到新的知識(shí)，挖掘圖像性質(zhì)，使知識(shí)條理性，系統(tǒng)性，完整性，更具說(shuō)服力，更具美感。“溫故而知新”說(shuō)的就是這個(gè)道理。