淺談分類思想在初中教學中的滲透

王軍毅

摘要：數學分類思想作為初中數學教學過程中的重要組成部分之一，其思維模式不僅有助于提高初中數學教學質量，對學生的探究思維能力及數學學習能力同樣有著尤為重要的促進作用. 隨著素質教育的改革和推進，數學分類思想作為廣大教育者的重要研究課題受到了很大的重視，并且其在初中數學教學中被廣泛使用. 本文從數學分類思想的含義著手，就其在實際教學中的應用重要性進行分析并提出相應的滲透策略.

關鍵詞：數學分類思想；初中數學；滲透

分類思想是學生進行數學思維的必備思想。素質教育要培養面向未來的合格人才，在創造中學會學習，具有創新意識，教育應更多的的關注學生的學習方法和策略。數學家喬治·波利亞所說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路”。隨著課程改革的深入，“應試教育”向“素質教育”轉變的過程中，對學生的考察，不僅考查基礎知識，基本技能，更為重視考查能力的培養。如基本知識概念、法則、性質、公式、公理、定理的學習和探索過程中所反映出來的數學思想和方法；要求學生會觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會闡述自己的思想和觀點。從而提高學生的數學素養，對學生進行思想觀念層次上的數學教育。

數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。

數學分類思想，就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想。它既是一種重要的數學思想，又是一種重要的數學邏輯方法。

所謂數學分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數學方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。

分類討論思想，貫穿于整個中學數學的全部內容中。需要運用分類討論的思想解決的數學問題，就其引起分類的原因，可歸結為：①涉及的數學概念是分類定義的；②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能；④數學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的。應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。分類的過程，可培養學生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學生研究問題，探索規律的能力。

分類思想不像一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。它根據學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內涵。

教學中可以從以下幾個方面，讓學生在數學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應用。

一、滲透分類思想，養成分類的意識

每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的分類遷移到數學中來，在教學中進行數學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數的分類，絕對值的意義，不等式的性質等，都是滲透分類思想的很好機會。

教授完負數、有理數的概念后，及時引導學生對有理數進行分類，讓學生了解到對不同的標準，有理數有不同的分類方法，如分為：

有理數有理數

為下一步分類討論奠定基礎。

認識數a可表示任意數后，讓學生對數a進行分類，得出正數、零、負數三類。

講解絕對值的意義時，引導學生得到如下分類：

通過對正數、零、負數的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學習理解數學概念。

又如，兩個有理數的比較大小，可分為：正數和正數、正數和零、正數和負數、負數和零、負數和負數幾類情況來比較，而負數和負數的大小比較是新的知識點，這就突出了學習的重點。

結合“有理數”這一章的教學，反復滲透，強化數學分類思想，使學生逐步形成數學學習中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現遺漏、重復等錯誤。如把有理數分為：正數、負數、整數，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、學習分類方法，增強思維的縝密性

在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1、根據數學的概念進行分類。有些數學概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

例1，比較a與-a的大小，易得a的錯誤，導致錯誤在于沒有注意到數a可表示不同類的數。而對數a進行分類討論，既可得到正確的解答：

a0 時 ， a；0 時， ； 時，

2、根據數學的法則、性質或特殊規定進行分類。學習一元二次方程，根的判別式時，對于變形后的方程。用兩邊開平方求解，需要分類研究大于0，等于0，小于0這三種情況對應方程解的情況。而此題的符號決定能否開平方，是分類的依據。從而得到一元二次方程的根的三種情況。

例2、解關于x的不等式：ax+3>2x+a

分析通過移項不等式化為（a-2）x>a-3的形式，然后根據不等式的性質可分為a-2>0，a-2=0，和a-2<0三種情況分別解不等式。

當a-2>0，即a>2時，不等式的解是x>

當，a-2=0，即a=2時，不等式的左邊=0，不等式右邊=-1

因為0-1，所以不等式的解是一切實數。

當a-2<0，即a<2時，不等式的解是x<

3、根據圖形的特征或相互間的關系進行分類。如直線和圓的位置關系，根據直線與圓的交點個數可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。例如：在證明圓周角定理時。由于圓心的位置有在角的邊上、角的內部，角的外部三種不同的情況，因此分三種不同情況分別討論證明。先證明圓心在圓周角的一條邊上，這種最容易解決的情況，然后通過作過圓周角頂點的直徑，利用先證明（圓心在圓周角的一條邊上）的這種情況來分別解決圓心在圓周角的內部、圓心在圓周角的外部這兩種情況。這是一種從定理的證明過程中反映出來的分類討論的思想和方法。它是根據幾何圖形點和線出現不同位置的情況逐一解決的方法。教材中在證明弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。也是如此分圓心在弦切角的一條邊上，弦切角的內部、弦切角的外部三種不同情況解決的。

三、引導分類討論，提高合理解題的能力

課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教授這些內容時，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括，總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數式或函數或方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內討論解決問題。其二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況，逐一討論解決問題

例3、已知函救y=（m-1）+（m-2）x-1（m是實數）。如果函數的圖象和x軸只有一個交點，求m的值。

分析：這里從函數分類的角度討論，分 m-1=0 和 m-10 兩種情況來研究解決問題。

解：當m=l 時函數就是一個一次函數y=-x-1，它與x軸只有一個交點（-1，0）。

當 m1 時，函數是二次函數y=（m-1）+（m-2）x-1

當△=+4（m-1）=0，得 m=0.

拋物線 y=--2x-1，的頂點（-1，0）在x軸上

例4、 函數 y = - + - + - x +1，求證：y 的值恒為正數。

分析：將y的表達式分解因式，雖可證得結論但較難。分析可發現，若將變量x在實數范圍內適當分類，則問題容易解決。

證明：⑴ 當x ≤0時

∵- - x ≥0 ，∴ y≥1恒成立；

⑵ 當0 < x <1時

y = + （ -） + -） +（1-x）

∵ > ， >， 1> x

∴ y > 0 成立；

⑶ 當x = 1 時， y = 1 > 0 成立；

⑷ 當x >1時

y = -） + -） + - x ） + 1

∵> ，>，> x

∴ y > 1成立

綜上可知，y > 0 成立。

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當中，可以激發學生學習數學的興趣。

利用現有教材，教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握分類的思想方法，結合其它數學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合使用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發學生積極思維。相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。

參考文獻

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