以問題驅動 引深度學習

許瑞珠 吳小明

摘 要：以“直線與圓的位置關系”為例，教師在大單元視角下設計層次性問題、思辨性問題以及開放性問題，以問題驅動，讓學生不斷產生“憤悱感”“領悟感”以及“驚異感”，引深度學習.

關鍵詞：問題驅動;深度學習;課堂教學

1?理論基礎

張奠宙先生說：“問題驅動是數學教育的特有原則之一.”作為教師，要引導學生主動發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，從而形成問題主線，讓教師的教學有所指向，讓學生的數學學習有所聚焦.教師以“問題驅動”，引學生“深度學習”.

問題驅動，是以問題為載體，通過問題背景創設情境，讓學生融入既定的問題情境中思考，使學生始終處于積極探究的學習狀態中，解決問題到發現新問題再到解決問題，形成良性的探究性學習，從而激發學生自主探究問題和解決問題的能力.而作為知識的傳授者以及學生認知能力發展的推動者，教師必須根據學生已有的認知基礎，結合教學內容設計合理又富有層次性的問題，為學生的思考提供正確的方向以及有效的信息，針對學生在解決問題中遇到的新問題及時反饋，引導其獲得完整準確的數學知識.

深度學習，是將學生置身于真實、復雜且具有挑戰性的學習情境中，充分調動他們的思維活動，促使他們主動地、批判地運用多樣化學習策略來深度加工知識信息，使原有的認知結構能有效地遷移到新的情境中，質疑問難、求異思辨、舉一反三，從而不斷地挑戰新任務、解決新問題，發展它們的批判性思維、創新精神以及學科能力的認知策略.

2?教學片段分析

片段一?設計層次性問題，讓學生不斷產生“憤悱感”

師：請看例1：已知直線l：3x+y-6=0和圓C：x²+y²-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.

生1：聯立直線l與圓C的方程，求出交點，再用距離公式即可求得.

師：消元的時候為什么會選擇消去y？

生1：看①式中y的系數為1，所以選擇消去y.

追問1：消去x可以嗎？

生2：也可以，因為②式中x只出現了一項.

師：很好，那以后我們怎么選擇呢？

師生：看系數和項數，靈活選擇.

設計意圖：從反思二元二次方程組運算的角度（消元）開始，考慮是消x還是消y？由特殊到一般的思維方式，教學生學會積累經驗.層次性問題的反思設計，不斷地切入學生學習數學的“最近發展區”，不斷地激發學生的思考與探究.在這過程中，學生對相關的數學知識進行深度加工，進而對相關知識獲得深度理解.

層次性問題將外在的、具體化的經驗轉化為學生內在的、抽象的、理性化的學習素養.正是借助于問題，學生能“跳一跳摘到桃子”.

片段二?設計思辨性問題，讓學生不斷產生“領悟感”

師：若本題只需要判斷直線與圓的位置關系，不需要求出弦長.我們只要解到哪里就可以？

生3：解到（*）式，再用判別式Δ判別即可.

追問3：為什么可以用判別式Δ判別呢？

生3：因為這是一個關于x的一元二次方程.

再追問：關于x的一元二次方程有兩個不同解，是不是一定表示方程組有兩組不同的解呢，為什么？

生4：不一定，但本題是的，因為①式中的x，y是一一對應的.

設計意圖：一元二次方程有兩個不同的解是不是就等價于二元二次方程組有兩組解？這個問題是學生思維、認知的盲點、困惑點，也是解題的易錯點，通過思辨性的問題設計，引導學生認識到相關數學知識的充分性、必要性以及開放性，就顯得尤為重要.

片段三：設計開放性問題，讓學生不斷產生“驚異感”

師：再請看例2：過點P（1，1）作圓O：x²+y²=2的切線l，求切線l的方程.

生1：畫圖分析，易知切線方程為：y=-x+2.

師：很好！對于一些特殊的背景，我們優先畫圖.那一般的方法呢？

生2：因為P在圓O上，所以切線l是垂直于OP且過點P的一條直線，利用點斜式即可.

再追問：一般地，求過圓O：x²+y²=r²上一點P（x₀，y₀）的切線方程.

師：上述的做法是否有漏洞？

生4：需要對y₀=0單獨討論.

師：很好，這是分母不為0的需要，是否有辦法可以避免討論？

生5：可以考慮用軌跡法，設切線上任意一點M的坐標為（x，y），都滿足MP⊥OP，利用其向量數量積為0化簡得到.

再一次追問：既然考慮到向量這個工具，注意到垂直，我們不妨再優化一下，用向量的投影來推導得到切線方程.換個角度，我們以（x-x₀）²+（y-y₀）²=0來表示點P，你能解釋兩個式子x²+y²=r²和（x-x₀）²+（y-y₀）²=0相減的幾何意義嗎？為什么？

生6：兩式相減得到的方程x₀x+y₀y=r²就是我們所要找的切線方程.那是因為切點P（x₀，y₀）既在圓上，又在切線上.

設計意圖：求過圓上一點的切線方程，通過設計層次性問題，讓學生從特殊到一般，考慮從圖形到代數的方法，讓學生不斷產生“憤悱感”；通過設計思辨性問題，在不斷的辯證思維優化中完成算法的一次又一次優化，讓學生不斷產生“領悟感”；進一步地，設計開放性的問題，在用方程表示點P的基礎上，理解切線方程的由來，即兩個方程差的幾何意義，讓學生有豁然開朗的頓悟，不斷產生“驚異感”，更是為后續二元方程相減的幾何意義埋下伏筆.在開放性問題的設計引導下，學生既能用代數的眼光理解幾何圖形的意義，又能從幾何的角度解決代數問題，真正地領悟解析幾何的本質，進一步推動學生的數學深度學習發展.

3?幾點反思

3.1?問題驅動應在大單元視角下進行

基于核心素養的高中數學大單元教學，是數學學科育人價值的體現，在整個教學的推進過程中，有助于培養學生正確價值觀、必備品格和關鍵能力.大單元視角下的數學教學，能夠有效推動教學由“碎片化”向“整體化”轉變，其中問題驅動教學可以起到“催化劑”的作用，能夠將關鍵問題進行串聯，最終達成大單元教學目標.在這個過程中應把握以下三個方面，一是從大單元視角厘清問題；二是從大單元視角推進問題；三是從大單元視角深化問題.比如，“直線與圓的位置關系”這節課是建立在“大單元——解析幾何”的基礎上展開研究的，一方面，我們要用代數的眼光量化幾何問題；另一方面，我們也要用幾何的性質優化代數運算，所有的問題設計都要基于此，真正做到“數形結合”.

3.2?問題驅動是師生間的一個支點

問題驅動的首要環節是教師的提問，所以實施的關鍵在于設計有效的驅動問題.因此，這對教師的要求較高，除了豐富的學科知識和專業素養，還需要掌握學生的認知情況，綜合教學內容與學生基礎設計驅動問題，同時具有較強的課堂掌控能力，引導學生在問題驅動下發現數學知識的本質，完成知識體系的構建.

問題驅動是共同學習，教師需要建立學習共同體，教師應著重引領學生思維，將學習主動權留給學生，實現教學相長共贏的局面.

3.3?問題驅動的角度靈活多變

問題驅動，根據不同的素養水平，熟悉的情境可以選擇思考驅動，關聯的情境可以選擇運算（代數與幾何）驅動，綜合的情境可以選擇理解驅動.總之，教學情境復雜多變，但教師需要多思考，尋求規律，探尋根源，用“圖解”的形式誘發教師自身的深度學習，進而才能啟發學生的深度學習.

參考文獻：

［1］ 張奠宙，張萌南.新概念：用問題驅動的數學教學［J］.高等數學研究，2004（3）：8-10.

［2］ 易文輝.基于“深度學習”的高中數學教學思考［J］.數學教學通訊，2019（21）：3-5.

［3］ 曹廣福，張蜀青.問題驅動的中學數學課堂教學·理論與實踐卷［M］.北京：清華大學出版社，2018.