一道高考舊題推陳出新的精彩結論

●石向陽 (南雅中學 湖南長沙 410129)

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一道高考舊題推陳出新的精彩結論

●石向陽 (南雅中學 湖南長沙 410129)

一道高考舊題，經過探索，從拋物線推廣到一般常態(tài)二次曲線，得出一系列結論．結論證明的關鍵是平移坐標系，構造齊二次方程，再利用韋達定理與和角的正切公式，經過整理、對照得到動直線恒過定點或斜率恒為定值的結論．

平移；齊二次方程；動直線過定點；充要條件

圖1

1)求動圓圓心的軌跡C的方程.

2)設A,B是軌跡C上異于原點O的2個不同的點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β.當α,β變化且α+β為定值θ(其中0<θ<π)時，證明:直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

(2005年山東省數學高考理科試題第22題)

整理得

by2-2pxy+2pkx2=0.

因為x≠0，所以

因此

此時，直線AB的方程可表示為

即

tanαtanβ=1,

即

亦即

b=2pk.

因此,直線AB的方程可表示為y=kx+2pk，即

k(x+2p)-y=0,

從而直線AB恒過定點(-2p,0).

做完該題目之后，筆者作了進一步的探索．首先把定點O改成拋物線C：y2=2px(其中p>0)上一般的定點P(x0,y0)，在上述解法的基礎上增加一步平移：x′=x-x0，y′=y-y0，問題得到解決；然后，筆者把拋物線改成橢圓、雙曲線，也分別得到了相應的結論；最后，筆者把結論推廣到了一般常態(tài)二次曲線Ф:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，得出一系列非常漂亮、實用的結論．

上述思維過程從特殊到一般，為了敘述的方便、簡潔，筆者按照一般到特殊的思路整理如下，不當之處,請批評指正．

定理1 常態(tài)二次曲線Ф:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上有一定點P(x0,y0)和異于點P的2個動點Q,R.設PQ的傾斜角為α，PR的傾斜角為β,則

(其中Ф1=2Ax0+By0+D，Ф2=Bx0+2Cy0+E)．

證明 設點Q的坐標為(xQ,yQ)，點R的坐標為(xR,yR)，作平移：x′=x-x0，y′=y-y0，代入Ф(x，y)=0得

設QR的方程為lx′+my′=1，代入式(1)得到關于y′和x′的齊二次方程

(A+Φ1l)=0.

(2)

又tan(α+β)=λ，于是

即l(Φ2-λΦ1)+m(Φ1+λΦ2)=λ(A-C)-B.

(3)

于是直線QR:lx′+my′=1在坐標系x′O′y′中過定點

即動直線QR過定點

l(Φ2-λΦ1)+m(Φ1+λΦ2)=0,

即

亦即

當定理中的常態(tài)二次曲線Ф為拋物線y2=2px時，tan(α+β)=λ(其中λ≠0)為定值的充要條件是動直線QR過定點

當定理1中的常態(tài)二次曲線Ф為拋物線y2=2px時，kPQ+kPR=0的充要條件是

上述性質，不僅形式優(yōu)美，而且能幫助我們迅速破解某些試題，限于篇輻,僅舉3例．

圖2

例1 如圖2所示，過拋物線y2=2px(其中p>0)上一定點P(x0,y0)(其中y0>0)，作2條直線分別交拋物線于A(x1,y1)，B(x2,y2)．

1)略；

(2004年北京市數學高考理科試題第17題)

2)證明 由題意kPA+kPB=0，根據推論2，得

故

1)求橢圓C的方程；

2)E,F是橢圓C上的2個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明：直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

(2009年遼寧省數學高考文科試題第22題)

2)證明 由題設可知kAE+kAF=0，根據推論2知kAE+kAF=0的充要條件是

圖3

(2011年全國高中數學聯(lián)賽一試第11題)

2016-03-17；

2016-04-26.

石向陽(1972-)，男，湖南邵陽人，中學高級教師，研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)06-42-04