一道解析幾何試題的命制與結(jié)論推廣

●王志良 (安溪第一中學(xué) 福建泉州 362400) ●楊蒼洲 (泉州第五中學(xué) 福建泉州 362000)

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一道解析幾何試題的命制與結(jié)論推廣

●王志良 (安溪第一中學(xué) 福建泉州 362400) ●楊蒼洲 (泉州第五中學(xué) 福建泉州 362000)

坐標(biāo)法是解析幾何的基本思想方法，坐標(biāo)系是解決平面幾何問題中化“形”為“數(shù)”的重要工具，高中數(shù)學(xué)試題的命制應(yīng)注重對知識本質(zhì)思想的考查.圓錐曲線有著很多優(yōu)美的性質(zhì)，它們往往可以作為解析幾何試題命制的素材.

解析幾何;圓錐曲線;試題命制;結(jié)論推廣

筆者有幸參與了2015年福建省泉州市的質(zhì)檢命題工作，在一道解析幾何試題的命制過程中，感觸頗深，同時也“意外”地發(fā)現(xiàn)了一些有關(guān)圓錐曲線的一般性結(jié)論.下面談?wù)勗撛囶}的命制與結(jié)論的推廣，與同行交流探討.

1 試題命制

1.1 命制構(gòu)想

根據(jù)命題組的分工安排，命制一道解析幾何解答題是筆者的任務(wù)之一.于是，筆者設(shè)想從解析幾何的基本思想——坐標(biāo)法出發(fā)，讓考生合理地選擇坐標(biāo)系，考查運算求解能力；以拋物線為考查內(nèi)容，通過相切問題與導(dǎo)數(shù)進行交匯，進而使試題內(nèi)容豐富飽滿.

1.2 試題內(nèi)容

題目 已知點O,F分別是拋物線Γ的頂點和焦點，且|OF|=1，點P在射線OF上.過點P作直線l交拋物線Γ于點A,B，分別過點A,B作拋物線的切線l1,l2,設(shè)2條切線的交點為Q.

1)試選擇一個圖形(如圖1和圖2所示)，求拋物線Γ在適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系下的標(biāo)準方程.

圖1 圖2

2)在第1)小題的條件下，①證明：當(dāng)|OP|的長度不變時，直線l1,l2的斜率之積為定值；②若l1⊥l2，請直接確定點P的位置.

(2015年福建省泉州市第二次數(shù)學(xué)模擬考試

第19題)

圖3

1)解 選擇圖2，以O(shè)為原點、OF所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(如圖3所示)，則F(0,1)， 故拋物線Γ的標(biāo)準方程為x2=4y.

x2-4kx-4m=0，

可得x1x2=-4m，從而

②若l1⊥l2，則

k1k2=-m=-1，

故點P的坐標(biāo)為(0,1)，即點P與點F重合.

1.3 試題評析

本題主要考查直線的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等[1]．本題有以下幾個亮點：

1)重視數(shù)學(xué)本質(zhì)思想.坐標(biāo)法是解析幾何的基本思想方法，是利用代數(shù)手段研究平面圖形的重要方法[2].本題通過讓學(xué)生自主建系，得到拋物線的標(biāo)準方程，既考查了坐標(biāo)法，又考查了拋物線的標(biāo)準方程在坐標(biāo)系中的位置特征.

2)突出考查高考數(shù)學(xué)的能力要求.通過合理地選擇坐標(biāo)系，即合理地選擇運算途徑，以達到簡化計算的目的，從而實現(xiàn)運算求解能力的“自然”考查.

3)倡導(dǎo)開放探索，關(guān)注創(chuàng)新意識[3].《考試說明》中指出：高考中可適當(dāng)設(shè)置開放性、探索性試題，考查創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神[1].在本題中，先是探究證明當(dāng)|OP|長度不變時，直線l1,l2的斜率之積為定值；然后再根據(jù)所得結(jié)論進行推測該定值與|OP|的長度關(guān)系，即確定點P的位置，使試題具有深厚的探究氣息和較高的考查價值.

2 結(jié)論推廣[4]

在本題的探究中，筆者借助軟件GeoGebra讓點P在拋物線(標(biāo)準方程形式下)的對稱軸上移動，探究其一般性結(jié)論，發(fā)現(xiàn)：

命題1 若過點P(0,m)的直線與拋物線Γ:x2=ay(其中a≠0)交于點A,B，分別過點A,B作拋物線的切線l1,l2，且l1,l2的斜率分別為k1,k2，則k1k2=-m.

在探究過程中，筆者又想到探究相關(guān)的軌跡問題，進而借助軟件并結(jié)合證明，很快地發(fā)現(xiàn)了命題3.

圖4

命題3 如圖4，已知拋物線Γ:x2=2py(其中p>0).若點P(x0,y0)為坐標(biāo)平面內(nèi)的一定點，過點P的動直線l與拋物線Γ交于點A,B，過A,B作拋物線Γ的切線l1,l2，2條切線交于點Q，則點Q的軌跡為直線x0x=p(y+y0)(除拋物線開口內(nèi)的部分).

命題4 已知拋物線Γ:y2=2px(其中p>0).若點P(x0,y0)為坐標(biāo)平面內(nèi)的一定點，過點P的動直線l與拋物線Γ交于點A,B，過點A,B作拋物線Γ的切線l1,l2，2條切線交于點Q，則點Q的軌跡為直線y0y=p(x+x0)(除拋物線開口內(nèi)的部分).

特別地，當(dāng)點P在拋物線的對稱軸上時，可得命題5和命題6.

命題5 已知拋物線Γ:x2=ay(其中a≠0).若過點P(0,m)的動直線l與拋物線Γ交于點A,B，過A,B作拋物線Γ的切線l1,l2，2條切線交于點Q，則點Q的軌跡為直線y=-m(除拋物線開口內(nèi)的部分).

命題6 已知拋物線Γ:y2=ax(其中a≠0).若過點P(m,0)的動直線l與拋物線Γ交于點A,B，過A,B作拋物線Γ的切線l1,l2，2條切線交于點Q，則點Q的軌跡為直線x=-m(除拋物線開口內(nèi)的部分).

由于圓錐曲線在很多方面具有統(tǒng)一性，筆者進一步探究圓、橢圓、雙曲線，經(jīng)過驗證，發(fā)現(xiàn)下列命題：

命題7 如圖5，已知⊙O:x2+y2=r2(其中r>0).若點P(x0,y0)為坐標(biāo)平面內(nèi)的一定點(異于圓心O)，過點P的動直線l與⊙O交于點A,B，過點A,B作⊙O的切線l1,l2，2條切線交于點Q，則點Q的軌跡為直線x0x+y0y=r2(除圓內(nèi)部分).

圖5 圖6

特別地，當(dāng)點P為橢圓的焦點時，可得命題9.

圖7

特別地，當(dāng)點P為雙曲線的焦點時，可得命題11.

[1] 福建省考試院．2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試福建省語文·數(shù)學(xué)·英語考試說明[M]．福州：福建教育出版社，2014.

[2] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準[M]．北京：人民教育出版社，2003.

[4] 楊蒼洲，王志良.一道解析幾何高考試題的題源探究與推廣[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2014(6)：1-6.

2016-03-17；

2016-04-20.

王志良(1977-)，男，福建泉州人，中學(xué)一級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)06-36-03