呈現解法全貌 提升數學素養
——一道立體幾何題的5種解法與4個變式

●陸 峰 (杭州綠城育華學校 浙江杭州 310012)

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呈現解法全貌 提升數學素養
——一道立體幾何題的5種解法與4個變式

●陸 峰 (杭州綠城育華學校 浙江杭州 310012)

教師在一堂立體幾何課上設計了一道求多面體體積的問題，它的5種解法幫助學生構建起求空間幾何體體積的解法體系，4個變式又向學生呈現了一個問題產生與變化的過程，從而有效提升學生的數學素養．

立體幾何;幾何體體積;解法體系;數學素養

題目 如圖1，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為線段AB的中點，則四面體D1B1EC的體積為______．

解法1 利用空間向量工具求解(過程略)

點評 空間向量作為處理立體幾何問題的一種有效工具，已成為學生解決立體幾何問題的首選．本題空間坐標系容易建立，數據明確，大多數學生會選擇此種方法求解．但不可避免會遇到空間向量解決立體幾何問題的通?。河嬎惴爆?、一處算錯整題皆錯．空間向量法對于學生空間想象能力、圖形分析能力的培養也無多大幫助．

圖1 圖2

點評 本解法的關鍵在于視角的選擇，將四面體視為三棱錐B1-ECD1，與將其視為三棱錐E-B1CD1在后續的計算中難度是不相同的．這一視角選擇的過程實際反映了學生對圖形的觀察與分析能力的高低；其次在計算三棱錐高的過程中，學生又經歷了空間幾何體中線線、線面垂直的證明過程，切中立體幾何的考查重點．

解法3 應用割補思想求解

如圖3，取線段A1B1的中點J，聯結D1J，EJ,則

VE-B1CD1=V正方體-VC-D1B1C1-VB1-EBC-VD1-ECD-VE-JB1D1-

點評 割補思想是求解空間幾何體體積的一種常用方法，學生在分割、補全圖形時經歷了對圖形中各個幾何體形狀及位置關系的分析判斷過程，既培養了學生的空間想象能力，又培養了學生的圖形分析能力．本題有多種割補方案，可引導學生多進行探索．

圖3 圖4

解法4 應用轉換思想求解

于是

VE-B1CD1=VB1-ECD1=2VB1-D1EK.

而

故

點評 較之解法2和解法3，解法4對學生的空間想象和圖形分析能力要求有了更進一步的提升．“點K的選擇、4點共面的確定”使學生經歷了線線平行關系的判斷與證明的思維過程，關系的得出又充分鍛煉了學生的空間想象能力和計算能力．

解法5 應用等積變換思想求解

圖5

如圖5，取線段AA1的中點K，延長線段EK交線段B1A1的延長線于點H，聯結D1H．因為EH∥CD1，所以EH∥面B1CD1，從而點E到面B1CD1的距離等于點H到面B1CD1的距離，于是VE-B1CD1=VH-B1CD1.而三棱錐H-B1CD1可轉換視角為三棱錐C-B1D1H，故

點評 解法5可視為解法4的提升，它有2個特點：首先，它突破了立方體的框架，將直線和平面向立方體外的空間延伸，突出了空間特點，點亮了學生的思維；其次，它的計算過程非常簡潔，可以通過口算完成，充分體現了浙江省立體幾何“思維主導，計算靠邊”的命題思路．

變式1 點E改變位置會怎樣？

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E為線段AB的三等分點，則四面體D1B1EC的體積為______．

點評 變式1將點E從中點位置移動到了三等分點位置．一個點位置的改變導致四面體D1B1EC發生了哪些變化？原題的5種解法是否依然適用于解決本題？哪些解法將變得繁瑣，哪些解法依然簡潔？學生在解答上述問題的過程中進一步加深了對圖形的理解，提升了空間想象能力．

變式2 點E運動會怎樣？

已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長均為1，E為線段AB上的動點，則四面體D1B1EC的體積的取值范圍為______．

點評 變式2中的點E運動，使得原題從一個靜止求值問題變成一個動態求范圍問題，學生思維也從靜變動．在求解時可以通過建立空間直角坐標系將問題轉化為函數范圍問題，也可通過探索點E的特殊位置分析點E運動對體積產生的影響．

變式3 改變底面形狀會怎樣？

點評 變式3通過改變底面的形狀來改變幾何體的形狀，可使學生直觀感知幾何體的變形過程，進而建立起幾何體的變形模型．在探索變化及其解法時可引導學生討論、分析四面體D1B1EC體積如何變化，促使學生形成新的解題感悟．

變式4 改變多面體形狀會怎樣？

點評 有了變式3的基礎，變式4盡管幾何體的形狀進一步發生改變，學生依然能比較清晰地掌握圖形的變化過程，正確地分析圖形變換對所求問題產生的影響，進而尋求較為合理的解法．這就是我們常說的抓住了學生思維的“最近發展區”．

以上是一個例題的多種解法及變式的分析，它涵蓋的面很寬，有知識體系、方法體系、思維體系、學法體系、教法體系．教學時向學生呈現解法全貌，促使學生形成較全面的解題體系，有利于學生更好地學習數學，提升學生的數學素養．

2016-01-27；

2016-04-06.

陸 峰(1977-)，男，浙江杭州人，中學一級教師，研究方向：數學教育.

O123.2

A

1003-6407(2016)06-28-02