巧用建系 以數解形

●虞 會 (蛟川書院 浙江寧波 315201)

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巧用建系 以數解形

●虞 會 (蛟川書院 浙江寧波 315201)

在初中階段，平面直角坐標系是數與形的又一次完美結合.把一個幾何圖形放到平面直角坐標系中，圖形中的點就有了坐標，圖形中的線就有了解析式.當幾何題難以用幾何的方法來解決的時候，不妨放到平面直角坐標系中去，用代數的方法去解決.

直角坐標系;幾何代數；運動軌跡

在初中階段，平面直角坐標系是數與形的又一次完美結合.當我們把一個幾何圖形放到平面直角坐標系中，圖形中的點就有了坐標，圖形中的線就有了解析式.當幾何題難以用幾何的方法來解決的時候，不妨放到平面直角坐標系中去，用代數的方法去解決，往往有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感覺.

圖1

例1 如圖1，正方形ABCD和正方形CGEF的邊長分別是2和3，且點B，C，G在同一直線上，M是線段AE的中點，聯結MF，求MF的長.

(2013年浙江省寧波市初中自主招生試題)

本題的幾何方法很多，利用條件中“M是線段AE的中點”這個條件，可以倍長中線(如圖2和圖3)，也可以構造中位線(如圖4和圖5).而這些輔助線在平常的學習中不經常遇到，難度也較大，學生不容易想到.

圖2 圖3

圖4 圖5

圖6 圖7

例2 如圖7，已知正方形ABCD的面積為36，E,F分別為邊AB,BC上的點，AF和CE相交于點G，并且△ABF的面積為9，△BCE的面積為12，則四邊形BEGF的面積為______.

分析 根據已知條件可知BE=4，BF=3，聯結BG，則

S四邊形BEGF=S△EBG+S△BGF=

只要求出GM，GN的長即可，聯想到求點G坐標，而點G恰好是直線AF,CE的交點.

解 以B為原點、AB為x軸建立如圖7所示的平面直角坐標系.由題意可知B(0,0)，A(-6,0)，F(0,3)，C(0,6)，E(-4,0)，從而

故

于是

例3 如圖8所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2AC，以BC為底作等腰直角△BCD，E是CD的中點，求證：AE⊥EB.

分析 要證AE⊥EB，聯想到直線AE,BE的斜率k相乘等于-1，本題的難點是如何建立恰當的平面直角坐標系.建立平面直角坐標系的幾個原則：1)利用題目中的直角;2)利用單位“1”;3)點坐標表示簡便.

圖8 圖9

又因為

kAE·kBE=-1，

所以

AE⊥EB.

例4 已知線段AB=10，AC=BD=2，點P是線段CD上的一個動點，分別以AP,BP為邊向上、向下作正方形APEF和PHQB.設正方形對角線的交點分別為O1,O2，求點P從點C運動到點D時線段O1O2的中點G的運動路徑長為______.

(2013年廣西壯族自治區桂林市數學中考試題)

分析 此題得分率很低，難點在于對點G運動路徑的判斷.如果用幾何的方法來解決，思維跨度較大，難以想到,不妨放到平面直角坐標系中去，用代數法來證明點G運動的路徑是一條線段，即只要說明點G的橫縱坐標滿足一次函數解析式.

圖10

小結 對于運動型幾何問題，在借助平面直角坐標系解決時，常常會出現含參的解析式，這對學生的計算能力和理解能力有較高的要求.

例5 如圖11，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,點E為邊AB上的一個定點，且AE=2，點P為直線CD上的一個動點,在PE的右側作PQ⊥PE,PQ=PE．在點P沿直線CD運動的過程中,求DQ+EQ的最小值.

(2014年浙江省寧波市初中自主招生試題)

分析 點D和點E是定點，點Q是動點，要求DQ+EQ的最小值，需要知道點Q的運動軌跡，可以借助平面直角坐標系來解決，得出點Q的運動路徑是一條直線后，此題就轉化為將軍飲馬模型.

圖11 圖12

解 以A為原點、AB為x軸建立如圖12所示的平面直角坐標系，過點P作PF⊥AB于點F，過點Q作QG⊥CD于點G.令DP=a，由題意可知A(0,0)，E(2，0)，D(0,4).由PQ⊥PE,且PQ=PE,知

△PEF≌△PQC，

從而

PG=PF=4，QG=FE=2-a，

于是

Q(4+a,6-a)，

多一種方法，多一種選擇.初中階段學習過的平面圖形主要有三角形、四邊形、圓，而三角形、四邊形的邊可以用直線解析式來描述，圓也可以用圓的解析式來描述，在初中競賽和提前招生考試中常常會遇到.因此對于程度較好的學生來說,比較容易接受該方法.初中建立平面直角坐標系法在高中即是解析幾何法，雖在教材中并不要求，但是在新課標所提倡的模型思想中，可以提高學生學習數學的興趣和應用意識，也可以體現出新課程基本理念中不同的人在數學上得到不同的發展.

2016-03-11；

2016-04-26.

虞 會(1984-)，男，浙江寧波人，中學一級教師，研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)06-26-02