差比型數列求和的另解及其拓展

●王冠慶 (余姚市第七中學 浙江余姚 315450)

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差比型數列求和的另解及其拓展

●王冠慶 (余姚市第七中學 浙江余姚 315450)

教材中用錯位相減法推導了等比數列的求和公式，并在差比型數列求和中廣泛應用，但學生在實際操作過程中存在運算繁瑣、準確率低等問題，且推廣余地不大.針對這一現狀，筆者嘗試用“裂項相消法”解決差比型數列的求和問題，不僅打破了差比型數列求和固有的思維模式，更對其他數列求和、通項等問題的解決帶來了簡便，取得了顯著的效果.

錯位相減法;裂項相消法;差比型數列

人教版必修5《數學》在推導q≠1的等比數列的求和公式中用了錯位相減法，緊接著在習題2.5第4題中出現了1+2x+3x2+…+nxn-1的求和問題，其中形如cn=anbn，{an}為等差數列，{bn}為等比數列，我們形象地稱{cn}為差比型數列[1].在差比型數列求和的問題中剛好用到錯位相減法,教材這樣的編排給我們一個錯覺：錯位相減法是解決此類問題的唯一方法.

1 現狀分析

數列求和有累加、累乘、分組轉化、構造法、裂項相消、錯位相減等多種方法，唯獨錯位相減法的計算量較大，過程繁瑣，學生出錯率較高.而差比型數列求和在高考中頻頻出現，讓學生的解答陷入“山窮水盡疑無路”的境地，苦不堪言.遙望數列的其他幾種解法，特別是裂項相消法在解決數列求和問題中所體現出的簡便，不得不感嘆數學巧妙的變化.我們能不能從不同的方向、角度去思考，打破差比型數列“自古華山一條道”的解法.

2 解法突破

裂項相消法是把數列的通項轉換為另一數列的相鄰2項之差，在求和中相抵消的一種方法.

受此啟發，等比數列通項可以拆成另一個等比數列相鄰的2項之差，從而達到相消的目的，那么差比型數列是否能夠拆成另一個差比型數列的相鄰2項之差呢？

例1 設數列{an}的通項公式為an=n·2n，求其前n項和Sn.

解an=n·2n=(an+b)·2n-[a(n-1)+b]·2n-1，由文獻[2]可解得a=2,b=-2,即

an=(n-1)·2n+1-(n-2)·2n,

從而Sn=an+an-1+…+a1=

[(n-1)·2n+1-(n-2)·2n]+[(n-2)·2n-(n-3)·2n-1]+…+[0·22-(-1)·21]= (n-1)·2n+1+2.

3 總結規律

將上述方法推廣到一般情況，有如下結論：

結論1 若數列{cn}是差比型數列，則數列{cn+1-cn}也是差比型數列.

差比型數列cn=anbn一定可以轉化成cn=(an+b)·qn的形式，為了計算方便，后面的差比型數列的通項都用cn=(an+b)·qn表示.

證明 由cn=(an+b)·qn,得

cn+1-cn= [a(n+1)+b]·qn+1-(an+b)·qn=(aqn+aq+bq-an-b)·qn=

[(aq-a)n+aq+bq-b]·qn,

故{cn+1-cn}也是差比型數列.

證明 由題意得

cn=(an+b)·qn=(rn+s)·qn-[r(n-1)+s]·qn-1,

消去qn-1得

aqn+bq=rqn+sq-rn+r-s.

由恒等式性質知

解得

結論3 若數列{cn}是差比型數列，通項為cn=(an+b)·qn，則{cn}的前n項和為

證明Sn=cn+cn-1+…+c1=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(1)-f(0)]=

f(n)-f(0)=(rn+s)·qn-s,

從而

利用上述3個結論可以快速地對差比型數列進行求和.在例1中，a=1，b=0,q=2,可以快速地算出r=2，s=-2，即Sn=(2n-2)·2n+2=(n-1)·2n+1+2.

這種方法規律性強，操作簡單，更重要的是避免了錯位相減法的繁雜運算，是解決差比型數列求和的好方法.

4 擴大戰果

從上述解答中我們可以發現，裂項相消法只要把數列的通項轉化成同一類型數列的相鄰2項之差，就能求出該數列的前n項和，而不僅僅只局限于差比型數列的求和.

4.1 裂項相消法在其他數列求和中的應用

例2 已知數列{an}的通項公式為an=n2，求其前n項和Sn.

解 構造f(n)=an3+bn2+cn+d，則

an=n2=f(n)-f(n-1)=an3+bn2+cn+d-a(n-1)3-b(n-1)2-c(n-1)-d=

3an2+(2b-3a)n+(c-b+a).

由恒等式性質知

解得

從而

Sn=an+an-1+…+a1=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+…+[f(1)-f(0)]=

當f(n)為k+1次多項式時，f(n)-f(n-1)為k次多項式，因此當數列{an}的通項公式為k次多項式時，可設f(n)為k+1次多項式.

例3 已知數列{an}的通項公式為an=(3n2+2n+5)·2n，求其前n項和Sn.

分析 如果本題用錯位相減法解題，需要進行2次錯位相減法，運算復雜程度明顯加大，而用裂項相消法，降低了運算難度.

解 構造f(n)=(an2+bn+c)·2n,則

an= (3n2+2n+5)·2n=f(n)-f(n-1)=(an2+bn+c)·2n-[a(n-1)2+b(n-1)+c]·2n-1,

消去2n-1后，得

6n2+4n+10=an2+(2a+b)n+c+b-a.

由恒等式性質知

解得

a=6,b=-8,c=24,

從而

Sn=an+an-1+…+a1=f(n)-f(0)=(6n2-8n+24)·2n-24.

當數列{an}的通項公式為k次多項式與指數次相乘時，可設f(n)為k次多項式與指數次相乘，其中指數式保持不變.

4.2 裂項相消法在遞推數列求通項中的應用

例4 已知數列{an}滿足a1=0，an+1=3an+n2+2n，求數列{an}的通項公式.

解 構造f(n)=an2+bn+c，使得

n2+2n=f(n+1)-3f(n)=a(n+1)2+b(n+1)+c-3an2-3bn-3c=

-2an2+(2a-2b)n+a+b-2c.

由恒等式性質知

解得

即

可得

an+1-f(n+1)=3[an-f(n)]，

例5 已知數列{an}滿足a1=32，an+1=2an+n2·3n，求數列{an}的通項公式.

解 構造f(n)=(an2+bn+c)·3n，使得

n2·3n=f(n+1)-2f(n),

同例4解得

f(n)=(n2-6n+15)·3n，

得

an+1-f(n+1)=2[an-f(n)],

從而

an=2n+(n2-6n+15)·3n.

對于一階遞推式an+1=pan+g(n)，其中g(n)為多項式或多項式與指數式相乘的問題，可以構造與g(n)同類型的f(n)，使g(n)=f(n+1)-pf(n)，最終構造出等比數列進行求解.

裂項相消法不僅可以解決一階遞推數列的通項問題，在二階遞推數列的通項問題中也有廣泛的應用.在二階遞推問題中，只要把相鄰3項的遞推關系化為相鄰2項的遞推關系，就可以進一步求出通項公式.下面以斐波那契數列為例.

例6 已知數列{an}滿足a1=1,a2=1,an+2=an+1+an，求數列{an}的通項公式.

解 設an+2+xan+1=y(an+1+xan)，即

an+2=(y-x)an+1+xyan,

對照2個式子的系數得

解得

取其一解，有

即

則

從而

于是

即

問題是數學的心臟，數學的學習就是不斷地解決問題和發現問題.對于同一類型的題目，我們應多角度去觀察與思考，在舊經驗、老方法的基礎上大膽質疑創新，跳出思維定勢，提升思維的深度和廣度.裂項相消法不僅打破了差比型數列求和固有的思維模式，更為其他數列的求和、通項等問題的求解帶來了簡便，讓我們更加體會到數學思想的巧妙和相通之處.

[1] 李建華.普通高中課程標準實驗教科書《數學(必修5)》[M].北京：人民教育出版社，2007：55-56.

[2] 陳新偉.差比型數列求和的兩種通法[J].中國數學教育，2015(6)：63-64.

2016-03-04；

2016-04-22.

王冠慶(1984-)，男，浙江余姚人，中學一級教師，研究方向：數學教育.

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1003-6407(2016)06-16-04