最值互嵌問(wèn)題的解題策略

●王紅權(quán) (杭州市基礎(chǔ)教育研究室 浙江杭州 310006)

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最值互嵌問(wèn)題的解題策略

●王紅權(quán) (杭州市基礎(chǔ)教育研究室 浙江杭州 310006)

解答最值互嵌問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難.理清這類問(wèn)題的解題規(guī)律和操作策略可以有效地幫助學(xué)生提高解題水平.解答這類問(wèn)題常常需要構(gòu)造圖像、對(duì)稱式、不等式等.文章結(jié)合實(shí)例，分析構(gòu)造的具體策略.

最值互嵌；解題策略；構(gòu)造

最值互嵌問(wèn)題歷來(lái)是數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).最近幾年這類問(wèn)題正悄悄地由競(jìng)賽轉(zhuǎn)向高考．命題專家給出的解答往往很突然，變化無(wú)窮且一題一法，不易為廣大學(xué)生想到．學(xué)生解答這類問(wèn)題普遍感覺(jué)比較困難，很難獲得普遍有效的方法，更何況理解這些抽象的記號(hào)本身也需要下點(diǎn)功夫．筆者認(rèn)為有必要對(duì)這類問(wèn)題作系統(tǒng)的梳理，本文試圖通過(guò)幾個(gè)例題給出這類問(wèn)題的一般解題策略，供大家參考．

本文約定min{a1，a2，…，an}表示數(shù)a1，a2，…，an中的最小者，max{a1，a2，…，an}表示數(shù)a1，a2，…，an中的最大者．max min{a1，a2，…，an}表示“求最小值中的最大值”，min max{a1，a2，…，an}表示“求最大值中的最小值”．

1 求最小值中的最大值

策略1 對(duì)于單變量問(wèn)題，畫圖是非常有效的方法，不僅直觀而且易于上手．初學(xué)者從這里開始接觸這些記號(hào)，比較容易理解記號(hào)所要表示的含義和最值互嵌本身的內(nèi)含，不至于一開始就把初學(xué)者擋在門外了．

1．1 圖像法

通過(guò)畫出函數(shù)圖像，并根據(jù)圖像的位置直接看出答案．這種方法一般適用于單變量問(wèn)題．

( )

A.-1 B.1 C.2 D.3

(2014年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

圖1

評(píng)注 如果問(wèn)題只含有1個(gè)變量，一般只需畫出函數(shù)圖像，觀察圖像位置關(guān)系便可獲得答案．

策略2 對(duì)于多變量問(wèn)題，常常先設(shè)A=min{a1，a2，…，an}，則A≤a1，A≤a2，…，A≤an，然后通過(guò)構(gòu)造法來(lái)解決．

1.2 構(gòu)造對(duì)稱式法

在多變量問(wèn)題中，已知各式往往是不對(duì)稱的，難以利用重要不等式求解．通過(guò)構(gòu)造對(duì)稱式，即可利用重要不等式求出A的最大值．

解 由題意知

把這2個(gè)不等式相乘，并利用不等式x2+y2≥2xy，得

即

1.3 不等傳遞法

挖掘a1，a2，…，an內(nèi)在邏輯不等關(guān)系，通過(guò)不等式自身具有的傳遞特點(diǎn)，構(gòu)造含有A的不等式，解該不等式即可獲得A的最大值．

(2003年北京市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

可得

從而

于是

A2≤2，

即

(2006年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

0

可得

從而

于是

A2≤3，

即

1.4 不等式構(gòu)造法

通過(guò)挖掘a1，a2，…，an內(nèi)在等量關(guān)系，構(gòu)造含有A的不等式，通過(guò)解不等式即可獲得A的最大值．

例5 設(shè)x>1，y>1，A=min{logx2，log2y，logy8x2}，則A的最大值為______.

(2006年陜西省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解 由題意知

0

因?yàn)?logx2· (log2y·logy8x2-3)=

又

A(A2-3)≤logx2·(log2y·logy8x2-3)，

得

A(A2-3)≤2,

即

A3-3A-2≤0，

分解因式得

(A-2)(A+1)2≤0，

評(píng)注 本題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系

logx2·(log2y·logy8x2-3)=2，

從而構(gòu)造關(guān)于A的三次不等式A3-3A-2≤0，通過(guò)解不等式得到A的最大值．

2 求最大值中的最小值

2.1 圖像法

如前面所述，該方法對(duì)解決一元問(wèn)題適用．

例6 對(duì)a，b∈R，記

函數(shù)f(x)=max{|x+1|，|x-2|}(其中x∈R)的最小值是______．

(2006年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第12題)

圖2

策略3 對(duì)于多變量問(wèn)題，常常先設(shè)A=max{a1，a2，…，an}，則A≥a1，A≥a2，…，A≥an．這類問(wèn)題相對(duì)于前面的問(wèn)題，解決的方法要簡(jiǎn)單些，常用的方法有構(gòu)造對(duì)稱式和分類討論．

2．2 構(gòu)造對(duì)稱式法

這種方法與前面求“最小值的最大值”類似，但不同的是這里的構(gòu)造對(duì)稱往往是為了利用條件，因此構(gòu)造的方向就是如何用好條件．

例7 設(shè)a，b，c∈R，且a+b+c=1，求min max{a+b，b+c，a+c}．

解 設(shè)A=max{a+b，b+c，a+c}，則

A≥a+b，A≥b+c，A≥a+c,

從而

3A≥ (a+b)+(b+c)+(a+c)=

2(a+b+c)=2,

得

評(píng)注 如何從a+b，b+c，a+c構(gòu)造利用好條件a+b+c=1是本題的關(guān)鍵．

2．3 放縮法

對(duì)于一類帶有絕對(duì)值的問(wèn)題，可以通過(guò)三角形不等式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(或|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|)放縮得到．

(2006年河北省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解 根據(jù)題意得

A≥|f(0)|=|q|，

2A≥2|f(1)|=|2p+2q+2|,

A≥|f(2)|=|2p+q+4|,

上述3個(gè)式子相加得

4A≥ |q|+|2p+2q+2|+|2p+q+4|≥

|q-2p-2q-2+2p+q+4|=2,

故

例9 設(shè)a，b∈R，不等式max{|a+b|，|a-b|，|2 006-b|}≥c恒成立，則常數(shù)c的最大值是______．

(2006年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

解 設(shè)A=max{|a+b|，|a-b|，|2 006-b|}，則

A≥|a+b|，A≥|a-b|，A≥|2 006-b|,

故 4A≥ |a+b|+|a-b|+2|2 006-b|≥

|(a+b)+(b-a)+2(2 006-b)|=

4 012,

得A≥1 003，當(dāng)a=0，b=1 003時(shí)等號(hào)成立,因此c的最大值為1 003．

評(píng)注 例8和例9構(gòu)造了含“4A”的不等式是為了能利用三角形不等式放縮后湊得一個(gè)常數(shù)．這里的系數(shù)可以用待定系數(shù)法得到．

2.4 分類討論法

分類討論的最大優(yōu)點(diǎn)在于各個(gè)擊破，通過(guò)分類討論使得一些本來(lái)困難的求解過(guò)程變得容易．在求解“最大值的最小值”問(wèn)題中，最麻煩的事是如何剔除那些“魚目混珠”的量，分類討論是其中一種有效的方法．

例10[1]設(shè)x，y∈R，A=max{|x+y|，|x-y|，|1-x|，|1-y|}，試求A的最小值．

解 1)若xy≥0，因?yàn)?/p>

|x-y|≤|x|+|y|=|x+y|，

所以 max{|x+y|，|x-y|，|1-x|，|1-y|}=

max{|x+y|，|1-x|，|1-y|}.

由題意得

A≥|x+y|，A≥|1-x|，A≥|1-y|，

故 3A≥ |x+y|+|1-x|+|1-y|≥

|(x+y)+(1-x)+(1-y)|=2,

2)若xy<0，max{|1-x|，|1-y|}>1，則

A= max{|x+y|，|x-y|，|1-x|，|1-y|}>

評(píng)注 本題通過(guò)分類討論，發(fā)現(xiàn)當(dāng)xy<0時(shí)結(jié)論顯然成立；當(dāng)xy≥0時(shí)，通過(guò)分析剔除無(wú)關(guān)量“|x-y|”，這是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵．

(2013年江蘇省常州市高三數(shù)學(xué)調(diào)研試題)

解 由題意知

于是

故

即A≥2．

②當(dāng)0

從而

于是

故

即A≥2．

綜上所述，A的最小值為2．

3 結(jié)束語(yǔ)

求解最值互嵌問(wèn)題的策略是多元的.如何選擇合理的解題策略，需要有敏銳的觀察能力，更需要心中有“法”．因此歸納一類問(wèn)題的解題策略對(duì)學(xué)生入門和初步掌握解決該類問(wèn)題是有幫助的.教學(xué)中教師需要引導(dǎo)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)一類問(wèn)題，歸納一類問(wèn)題，提出一些策略”，解決學(xué)生入門難的問(wèn)題，幫助學(xué)生減輕學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)．

[1] 孔祥新．求雙層復(fù)合最值的解題策略[J]．中等數(shù)學(xué)，2006(11):11-13．

[2] 鄭日鋒．不等式[M]．杭州:西冷印社出版社,2006．

[3] 席華昌．一個(gè)最大數(shù)命題的多種證法[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2005(3):36-37．

2016-03-27；

2016-04-15.

王紅權(quán)(1970-)，男，浙江杭州人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

A

1003-6407(2016)06-12-04