例析習題課教學的生成性策略

●臧 華 (姜堰區蔣垛中學 江蘇泰州 225503)

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例析習題課教學的生成性策略

●臧 華 (姜堰區蔣垛中學 江蘇泰州 225503)

習題課教學并不是簡單的講評習題，要注重發掘習題本身的潛在價值和課堂上師生互動產生的生成性資源，比如對學生錯題的點評和一題多解、一題多變的拓展等等.

生成;糾錯;一題多解;一題多變

對于數學教學來說，向學生傳授預設的知識和解題方法很重要，但是動態的師生活動產生的生成性資源也不能被忽視.下面通過對3道習題的處理談談生成性課堂教學的策略.

策略1 發掘“錯誤”資源，發揮“示錯”功能

學生“出錯”是教學過程中隨機出現的偶然現象，它一般通過學生板演、課后問問題暴露出來或者教師批改作業過程中發現，如果稍加利用，也許“由暗變明升境界”.

師：請大家看看這道題該怎么處理？

教師在教室巡視，沒有找到正確的解法，投影展示幾位學生的解法：

從而z的最小值是4.

從而z的最小值是4.

師：這3種解法各異，誰對誰錯，如果錯了，到底錯在哪里？大家討論一下.

生5：令t=xy,則

師：哪位同學小結一下，在應用基本不等式解題時需要注意哪些問題？

生6：注意“一正二定三相等”,尤其是“當且僅當”是否與條件矛盾.

師(繼續追問)：如果矛盾呢？

生6：可以換元后利用函數的單調性求最值.

評注 學生“出錯”，教師臉上不需要“烏云密布”，錯誤往往是正確的先導，有時候“示錯”是一種教學機智[1]，“糾錯”更能“守得云開見月明”.

策略2 注重一題多解，生成思維通道

在課堂上，不同的學生因為數學基礎、思考角度、審題方向等不同，同一道題目會出現各種解法的碰撞，這是解題過程中自然發生的現象，我們在教學過程中如果能合理引導、善加開發，不僅能使之成為新的可利用的資源，更能培養學生多角度思考問題的習慣.

生1：以F1F2為直徑構圓，圓的半徑r=c=3<4=b，即圓與橢圓無交點.

師：你是從什么角度思考的？

師：還有其他方法嗎？

生2：由題可知

而在橢圓中,

12>16不可能成立,因此不存在.

師：依然是觀察焦點三角形的特征，發現短軸端點處∠F1PF2最大，還有其他方法嗎？

生4：設P(5cosθ,4sinθ)，由PF1⊥PF2知

而

即

因此不存在.

師：設參數方程處理，未知數變少了，還有其他方法嗎？

生5：設∠PF1F2=θ，則

PF1⊥PF2,

于是

師：你的想法很富創意，結合了直角三角形的特征和橢圓的第一定義處理，還有其他方法嗎？

生6：設P(x0,y0),由焦半徑知

因為PF1⊥PF2,所以

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,

即

得

不符合題意，因此不存在.

師：你結合了勾股定理和橢圓的第二定義處理，想法奇妙，是否還有其他方法？

師：采用了代數法處理垂直問題，二元二次方程組解的個數對應點P的個數.

評注 處理解析幾何問題一般有2個角度：1)用解析法(坐標法，參數法)處理垂直問題;2)用幾何法(角、邊、面積)處理垂直問題.但本題思考的方向有很多：由因索果、由果索因、知識范疇、結構特征、圖形特征、方程的思想等等.問題雖然簡單，但是解法別開生面，帶動了很多知識的生成.一題多解既要關注正確的解題方法，又要能揭示出得出解法的思維歷程，這樣才能促進學生綜合素質的提升[2].

策略3 利用一題多變，生成本質結論

前蘇聯教育家奧加涅相說過：很多習題潛在著進一步擴展數學功能、發展功能和教育功能的可行性，這個過程顯然在擴大學生解題的“武器庫”[3].在教學過程中，對原型題稍加引申、拓廣，不但能夠幫助學生認識新舊題型的架梯結構，又能夠促進學生思維水平的提高.

證明 該函數定義域為R，且

f(-x)+f(x)=

從而

f(-x)=-f(x),

因此該函數的圖像關于原點對稱.

說明 本題以具體函數為背景考查奇函數的性質：若f(-x)=-f(x)，則函數y=f(x)關于原點O(0,0)對稱.下面去掉具體函數，修改為抽象函數.

變式1 (變背景)已知函數y=f(x)滿足f(-x+1)=-f(x+1),則y=f(x)的圖像關于點(1,0)對稱.

證明 由f(-x+1)=-f(x+1),知y=f(x+1)為奇函數，即y=f(x+1)的圖像關于原點(0,0)對稱，故y=f(x)的圖像關于(1,0)對稱.

說明 繼續修改條件f(-x+1)=-f(x+1)，移項.

變式2 (變條件)已知函數y=f(x)滿足f(x)+f(-x)=2，則函數y=f(x)的圖像關于(0,1)對稱.

證明 由f(x)+f(-x)=2,得

f(-x)-1=-[f(x)-1]，

從而y=f(x)-1為奇函數,圖像關于(0,0)對稱，因此y=f(x)的圖像關于(0,1)對稱.

說明 將數字修改為字母，推廣到一般結論.

變式3 (推廣變式)已知函數y=f(x)滿足f(a+x)+f(a-x)=2b，則y=f(x)的圖像關于(a,b)對稱.

證明 因為f(a+x)+f(a-x)=2b，所以

f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b]，

從而y=f(x+a)-b的圖像關于原點(0,0)對稱，故y=f(x)的圖像關于(a,b)對稱.

說明 再由一般結論回到具體函數的應用，但是難度提高了.

1)求證：f(x)+f(1-x)=1;

2)指出該函數圖像的對稱中心并說明理由;

得證.

即

3)解 由f(x)+f(1-x)=1，得

…

說明 試題的變式還可以從結論出發，結論的變題可以逆向考查新學習的知識.

變式5 (結論變式)求證：二次函數f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像沒有對稱中心.

證明 假設(m,n)是f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像的對稱中心，則對任意x∈R，都有

f(m+x)+f(m-x)=2n，

即a(m+x)2+b(m+x)+c+a(m-x)2+b(m-x)+c=2n恒成立,從而ax2+am2+bm+c=n恒成立，也就是a=0且am2+bm+c-n=0與a≠0矛盾,因此f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像沒有對稱中心.

評注 習題課教學的弊端是就題論題.變題是解題教學創新資源開發的有效途徑，變式教學可以將數學核心知識由易到難、由淺入深地逐步展示給學生[4]，以達到“隨風潛入夜，潤物細無聲”的效果，有助于擴展學生思維的寬度，培養思維的發散能力.

習題課教學是教師專業水平和課堂教學藝術的生動體現，我們要讓學生在錯中悟，在多解中讓思維四通八達，在變題中探究出“不變”的本質！

[1] 殷偉康.高中數學教學中示錯教學的策略[J].教育理論與實踐,2012(9)：11-12.

[2] 劉剛.一題多解，多題一解，一題多變有效性的探索[J].數理化學習,2014(5)：27-28.

[3] 蔡俊瑞.充分發揮例習題的潛在功能[J].中學數學月刊,1999(4)：7-8.

[4] 陳人豪.淺談初中數學教學中的“變式”教學[J].中學教研(數學),1998(6)：38-41.

2016-03-11；

2016-04-22.

臧 華(1980-)，男，江蘇姜堰人，中學一級教師，研究方向：數學教育.

O122.1

A

1003-6407(2016)06-09-04