再談高中數(shù)學(xué)“微專題”教學(xué)
——微專題的編制策略與方法

●李寬珍 (溧水高級(jí)中學(xué) 江蘇南京 211200)

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再談高中數(shù)學(xué)“微專題”教學(xué)
——微專題的編制策略與方法

●李寬珍 (溧水高級(jí)中學(xué) 江蘇南京 211200)

在微專題的編制過程中，確定有價(jià)值的主題、提煉問題模型是編制微專題的必要前提；其次是選編相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，可以通過對(duì)提煉問題的有效變式和問題串的設(shè)置來編制微專題.另外提出編制微專題的注意事項(xiàng)，如微專題的典型性、實(shí)踐性以及微專題教學(xué)與其他教學(xué)方法的融合性等.

微專題；編制策略；教學(xué)方法

筆者在文獻(xiàn)[1]中曾以2015屆江蘇省南通市數(shù)學(xué)第一次模擬考試第13題為例，通過“以退為進(jìn)，以小見大，基于學(xué)生的問題為出發(fā)點(diǎn)”來設(shè)計(jì)微專題教學(xué)，解決了一般復(fù)習(xí)中的“高大全”的現(xiàn)狀，取得了良好的成效.然而筆者讀到一些教輔資料和雜志上關(guān)于小專題課的示例時(shí)，發(fā)現(xiàn)不同層次的學(xué)生，其學(xué)習(xí)水平不同：在水平較高的學(xué)生中，難度太小，提不起興趣；在水平較弱的學(xué)生中，不僅由于難度偏大學(xué)生難以接受，而且耗時(shí)耗力達(dá)不到應(yīng)有的效果.因此在設(shè)計(jì)和實(shí)施微專題教學(xué)時(shí)有一定難度，故筆者再以“三角函數(shù)定義的運(yùn)用”和“過點(diǎn)的直線與圓的位置關(guān)系”為例，談?wù)劸幹莆ｎ}的策略與方法，不當(dāng)之處歡迎指正.

1 確定有價(jià)值的主題

確定微專題的主題、提煉問題模型是編制微專題的必要前提.既然微專題是針對(duì)真問題、小問題、實(shí)問題提出的，那么首先必須挖掘出學(xué)生中存在的問題，尤其是有價(jià)值的問題，串聯(lián)成合適的知識(shí)鏈，形成微專題.要教授學(xué)生解決問題，先要善于探尋問題模型，即幫助學(xué)生在自己頭腦里形成對(duì)某類數(shù)學(xué)問題的解決結(jié)構(gòu)．很多數(shù)學(xué)題我們可以想辦法把隱性的解題經(jīng)驗(yàn)顯性化、算法化，將看似雜亂無章的解答變得有規(guī)律可循、有方法可依，從而最大限度地降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度．挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)中遇到的問題，可以將此類問題提出，并按此主題編制微專題.提煉問題模型的方法很多，可以通過“考點(diǎn)”細(xì)化、“知識(shí)點(diǎn)”延伸、“易錯(cuò)易混點(diǎn)”辨析、難點(diǎn)突破、“思維角度”轉(zhuǎn)換等方式確立微專題的主題[2].有機(jī)地在常規(guī)教學(xué)過程中穿插微專題，可以彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)中的不足與缺陷，以達(dá)到高中數(shù)學(xué)的優(yōu)效教學(xué).以下案例1是源于學(xué)生難點(diǎn)的突破而提煉出的主題，而案例2是源于“知識(shí)點(diǎn)”的延伸而提煉出的主題.

圖1

案例2 解決蘇教版高中《數(shù)學(xué)(必修2)》“圓與方程”習(xí)題2.2的練習(xí)題7：已知⊙C的方程是x2+y2=r2，求證：經(jīng)過⊙C上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2.

學(xué)生給出多種解法的同時(shí)也提出了問題：若此點(diǎn)不在圓上，在圓內(nèi)或圓外，此方程又表示什么？若在圓錐曲線中，相應(yīng)的方程又是什么？此問題問得很好，是平時(shí)由此及彼、類比思想的運(yùn)用，可以在此處設(shè)置微專題提升學(xué)生的認(rèn)知能力.

由此可見，編制微專題的前提是提煉問題模型、確定微專題的核心主題，這樣才能保證微專題的“小而專”，達(dá)到“微中知著，以小見大”.

2 選編相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容

2.1 有效變式是編制微專題的重要方法

確定了微專題的主題，下面就是圍繞這個(gè)主題，根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的思維障礙，編制相應(yīng)的微專題.有效變式是一種重要的方法,對(duì)典型問題進(jìn)行一題多變，有利于學(xué)生從不同的背景中掌握通性通法，透過問題的表面看本質(zhì).

例如，在案例1中，針對(duì)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義理解不透徹的問題，可以從課本入手，逐步深入編制以下變式：

環(huán)節(jié)1 追本溯源，拋出概念

圖2

(蘇教版高中《數(shù)學(xué)(必修4)》第13頁)

環(huán)節(jié)2 設(shè)計(jì)變式，深化問題

方向1 已知點(diǎn)的坐標(biāo)求值

1)求tan(α+β)的值；

2)求α+2β的值．

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第15題)

1)求sin∠COA；

2)求|BC|2的值．

圖3 圖4

方向2 已知三角函數(shù)值求坐標(biāo)

變式4 如圖4,單位圓(半徑為1的圓)的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O與y軸的正半軸交于點(diǎn)A,與鈍角α的終邊OB交于點(diǎn)B(xB,yB),設(shè)∠BAO=β.

1)用β表示α;

3)求xB-yB的最小值.

變式5 如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角α,β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A,B．

2)若角α+β的終邊與單位圓交于點(diǎn)C，設(shè)角α,β,α+β的正弦線分別為MA,NB,PC，求證：線段MA,NB,PC能構(gòu)成一個(gè)三角形.

3)探究第2)小題中三角形的外接圓面積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

圖5 圖6

環(huán)節(jié)3 綜合運(yùn)用，提升能力

探究1 如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓,圓心為O，以O(shè)x軸為始邊分別作任意角α，β，它們的終邊與⊙O的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B.

2)試證明：差角的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

探究2 直線y=2x+1和圓x2+y2=1交于點(diǎn)A，B，以x軸的正方向?yàn)槭歼叀A為終邊(其中O是坐標(biāo)原點(diǎn))的角為α，OB為終邊的角為β，則sin(α+β)=______.

通過這一系列的運(yùn)用，讓學(xué)生熟悉單位圓在不同題境中的運(yùn)用，從而達(dá)到深刻理解與熟練運(yùn)用.貌似平常簡(jiǎn)單的題目，不要輕易放棄對(duì)它的探究，因?yàn)楹?jiǎn)單變式中孕育著復(fù)雜，在復(fù)雜的變式中能看到簡(jiǎn)單、看清本質(zhì)，達(dá)到觸類旁通的效果.如果不進(jìn)行變式探究，等于沒有走進(jìn)問題、用好問題.運(yùn)用學(xué)生現(xiàn)有的問題編制微專題，及時(shí)解決學(xué)生的問題，更切合學(xué)情、下接地氣，更有利于提高課堂教學(xué)的實(shí)效性.

2.2 設(shè)置問題串是編制微專題的有效策略

問題是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的載體,而課堂的重要構(gòu)成因素就是問題.孤立的問題對(duì)思維發(fā)展的作用微乎其微,注重問題串的整體性，在問題串的引領(lǐng)下,讓學(xué)生進(jìn)行系列、連續(xù)的思維活動(dòng),才能讓學(xué)生的思維達(dá)到新的高度.因此問題串不是幾個(gè)問題簡(jiǎn)單的組合,而是指在一定的學(xué)習(xí)范圍和主題之內(nèi),按學(xué)情、教學(xué)目標(biāo)、對(duì)一節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容或主題設(shè)計(jì)一組具有較強(qiáng)邏輯關(guān)聯(lián)的問題.問題串的教學(xué)是一種符合當(dāng)前新課程改革要求的教學(xué)模式,在問題串教學(xué)模式下,教師將一組問題有效串聯(lián),從而解決教學(xué)目標(biāo).

例如，在案例2中，可以根據(jù)原題，設(shè)計(jì)以下問題串引導(dǎo)學(xué)生深入思考：

問題1 (變圓為非標(biāo)準(zhǔn)圓)已知⊙C的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，求經(jīng)過⊙C上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程[3].

設(shè)問目的 通過改變圓心位置，鞏固剛才學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法，檢查學(xué)生的掌握情況，培養(yǎng)正向遷移能力.

問題2 (變點(diǎn)不在圓上)點(diǎn)M(x0,y0)不在⊙C：x2+y2=r2上，探尋直線x0x+y0y=r2與⊙C的位置關(guān)系.

設(shè)問目的 通過改變點(diǎn)M(x0,y0)的位置設(shè)置問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的熟練程度，加以辨別分析，防止負(fù)遷移,同時(shí)總結(jié)解法中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，重視通性通法訓(xùn)練.

追問 前面我們研究了當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=r2上和在圓內(nèi)、圓外時(shí)，直線x0x+y0y=r2與圓的位置關(guān)系.那么，對(duì)于點(diǎn)M(x0,y0)不同的位置，類比點(diǎn)在圓上的情況，你還可以提出什么問題？

設(shè)問目的 進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生自己進(jìn)行類比猜想，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想思維以及合情推理能力.

問題3 當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓上時(shí)，x0x+y0y=r2是圓上過點(diǎn)M(x0,y0)的切線.那么,可以研究當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓外時(shí)，直線x0x+y0y=r2的幾何意義是什么?

問題3難度較大，學(xué)生沉思，沒有結(jié)果.當(dāng)學(xué)生苦苦思考而不能得到解答時(shí)，教師的點(diǎn)撥就顯得尤為重要.教師提示引導(dǎo)可以先從特殊情況入手，找到解題方法，再證明一般情況，滲透特殊到一般的思想.先解決以下具體的問題：

問題4 過⊙O:x2+y2=4外一點(diǎn)M(4,-1)引圓的2條切線，求過這2個(gè)切點(diǎn)的直線方程.

設(shè)問目的 問題的設(shè)置要讓學(xué)生“跳一跳，夠得到”，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，并讓大多數(shù)學(xué)生能輕松解決.此外，設(shè)置的問題應(yīng)以一些“小問題”為主，不宜過大、偏難，應(yīng)做到循序漸進(jìn)，層層設(shè)問，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望.“大膽猜想，小心求證”是我們研究數(shù)學(xué)問題的一種基本思路，讓學(xué)生先猜想后證明，讓學(xué)生經(jīng)歷研究數(shù)學(xué)問題的一般思路，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維及正向遷移能力.

問題5 當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓內(nèi)時(shí)，直線x0x+y0y=r2的幾何意義是什么？

學(xué)生課后證明：若點(diǎn)M在⊙C內(nèi)(不是圓心)，過點(diǎn)M任作直線交⊙C于點(diǎn)A,B，求證：⊙C過點(diǎn)A,B的2條切線的交點(diǎn)的軌跡方程是x0x+y0y=r2.

問題6 當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓外時(shí)的結(jié)論在圓錐曲線中是否成立？

學(xué)生通過類比猜想，得到以下結(jié)論：

結(jié)論1 經(jīng)過拋物線y2=2px(其中p>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)作該拋物線的2條切線，則切點(diǎn)弦所在的直線方程為y0y=p(x0+x).

(注：焦點(diǎn)在y軸上的其他形式的圓錐曲線的切點(diǎn)弦方程可類似得到.)

設(shè)問目的 學(xué)生經(jīng)歷了點(diǎn)在圓上和圓內(nèi)的情況探索，自然會(huì)想到點(diǎn)在圓外的情況.而橢圓可以視為由圓壓縮而來，2者有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此可以將圓的有關(guān)結(jié)論延伸到圓錐曲線中，讓學(xué)生對(duì)此類問題的來龍去脈真正了解掌握.

所有教學(xué)過程中學(xué)生遇到的思維障礙均以問題串的形式給出，以問代教，使得學(xué)生的認(rèn)知逐步深入，達(dá)到新的深度.數(shù)學(xué)教學(xué)的方式本應(yīng)是豐富多彩并注入時(shí)尚元素的，因?yàn)橹挥羞@樣，課堂教學(xué)才會(huì)煥發(fā)出生機(jī)和活力.通過問題串設(shè)計(jì)課堂教學(xué)的實(shí)踐與嘗試，筆者的最大感觸是：只要站在學(xué)生學(xué)的角度開發(fā)課程資源，提升教學(xué)深度，他們的學(xué)習(xí)潛能就可以被充分激發(fā)，從而在課堂上形成師生互動(dòng)、生生互動(dòng)、相互給力的動(dòng)人場(chǎng)景，以共享生命課堂給師生帶來的樂趣.

3 編制微專題注意事項(xiàng)

微專題教學(xué)是為培養(yǎng)學(xué)生思維創(chuàng)新能力應(yīng)運(yùn)而生的學(xué)習(xí)方式，是讓學(xué)生在對(duì)問題探究解決中領(lǐng)悟知識(shí)、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)、形成能力，它既可避免解題教學(xué)中的就題論題，又可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生在主動(dòng)探索中獲得思維能力的提高.微專題教學(xué)能否有效開展的關(guān)鍵因素是問題模型的提煉和變式、問題的適宜性.課堂上所選的問題和變式要靠近學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生“跳一跳，夠得到”，問題不宜過大、過難，應(yīng)以一些“小問題”為主，層層設(shè)問，循序漸進(jìn).因此，編制微專題需要注意以下幾點(diǎn)：

首先，不是所有的數(shù)學(xué)題都可以歸結(jié)到某個(gè)微專題中去的，微專題必須具有典型性.

其次，教師在運(yùn)用微專題解決問題時(shí)一定要講清問題的來龍去脈，揭示蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在理解透徹的基礎(chǔ)上加以運(yùn)用，僅僅是死記硬背只能事倍功半．

再者，一個(gè)好的微專題還應(yīng)該包含在具體典型的實(shí)例中，并且可以讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)赜洃洠@樣學(xué)生在解題時(shí)遇到類似的題型，就可以聯(lián)想到微專題中的例題，舉一反三，將微專題中的方法遷移到解題中．

最后，筆者提出微專題教學(xué)并不排斥其他創(chuàng)新的方法，相反地，是其他教學(xué)方法的有益補(bǔ)充.教師在介紹“通法”的基礎(chǔ)上適時(shí)補(bǔ)充一些“巧法”，更有利于學(xué)生發(fā)散性思維的培養(yǎng)．

總之，教師和學(xué)生通過習(xí)題不斷地總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步地完善各種題型的微專題教學(xué)，并將其應(yīng)用到解決新問題中去，促進(jìn)知識(shí)的遷移．同時(shí)，微專題教學(xué)還培養(yǎng)了學(xué)生良好的反思習(xí)慣，尤其是當(dāng)面對(duì)自己產(chǎn)生的錯(cuò)誤時(shí)，學(xué)生會(huì)主動(dòng)思考這屬于哪一類微專題，應(yīng)該用怎樣的方法來解決，甚至能主動(dòng)歸納錯(cuò)題類型，將其納入到已有的微專題中去或者創(chuàng)建一類新的微專題．可見，微專題教學(xué)的應(yīng)用可以降低學(xué)生做題的錯(cuò)誤率，提高課堂教學(xué)的有效性，從而真正做到減負(fù)增效.

[1] 李寬珍.基于“微專題”教學(xué)的一些實(shí)踐與思考——由一道模擬題說起[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2015(7):1-4.

[2] 李寬珍.“微專題”引領(lǐng)高效數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的思考[J].教學(xué)與管理,2015(10):61-64.

[3] 蔣國慶.一道“圓與方程”課后習(xí)題的教學(xué)案例及反思[J].中小學(xué)數(shù)學(xué):高中版,2012(10):29-32.

2016-02-25；

2016-03-30.

李寬珍(1980-)，女，江蘇溧水人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)06-05-04